Question

Aplicaciones de las derivadas:
Calcular un punto del intervalo [1,3] en el que la tangente a la curva y = f(x) = x^3 - x^2 +2 sea paralela a la recta determinada por los puntos A(1,2) y B(3,20). Señale el teorema que garantiza la existencia de dicho punto.

Answer 1

Recuerda que la derivada se puede interpretar como la pendiente de una curva en un punto dado. 
Calculas la pendiente de la recta que pasa por los puntos que te dan:
$m= \frac{20-2}{3-1}=9$

Para que las rectas sean paralelas deben tener la misma pendiente, entonces derivas tu función y la igualas a 9:
$f'(x)=3x^2-2x=9\\3x^2-2x-9=0 \\ \\x_1= \frac{1- 2\sqrt{7} }{3}\approx -1.43\\ \\x_2= \frac{1+ 2\sqrt{7} }{3}\approx 2.09$

El punto es x=2.09

El Teorema del Valor Medio garantiza la existencia de dicho punto

Saludos!