Un granjero tiene 2400 pies de cerca y desea crear un campo rectangular que
limita con un rio recto. No necesita cercar a lo largo del río. ¿Cuáles son las
dimensiones del campo que tiene el área más grande?
Respuestas
Explicación:
mira la solu en la imagen
Las dimensiones que debe tener el terreno cercado es dos lados de 600 pies y un lado de 1200 pies. Mas otro lado de 1200 que estará delimitado por el río.
Aplicación de la derivada: optimización
Empezemos por las dós fórmulas básicas que usaremos y que se plantean en el problema:
área
- A = x * y
donde x representa la altura y "y" la base
perímetro
- P = 2x + y
donde tenemos dos lados de "x" que respresanta los lados más pequeños del rectángulo y solo una "y" porque el otro lado está ocupado por el límite del río, por tanto el perímetro total solo serán la suma de tres lados.
1.- Despejamos y sustituimos en las ecuaciones
Sabemos que el perímetro es igual a 2400 por tanto tenemos que:
2400 = 2x + y
y = 2400 - 2x
Sustituimos en la otra ecuación el valor de "y"
A = (x) (y)
A = x (2400 - 2x)
A = 2400x - 2x²
2.- LA ecuación anterior la expresamos en términos de una función y por tanto tenemos que:
A(x) = 2400x - 2x²
3.- Derivamos la función recién obtenido. Para ello podemos hacer uso de las reglas de la derivación:
- Constante f(x)=k f'(x)=0
- Identidad f(x)=x f'(x)=1
- Potencial f(x)=xⁿ f'(x)=n·xⁿ⁻¹
A(x) = 2400x - 2x²
Derivada
A'(x) = 2400 - 4x
0 = 2400 - 4x
4.- Despejamos x
-4x = -2400
x= -2400/-4
x = 600
5.- Sustituimos para encintrar "y"
y = 2400 - 2x
y= 2400 - 2(600)
y = 2400 - 1200
y = 1200
aprende más sobre las reglas de la derivada
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