Question

Determina todos los elementos de la parábola, obteniendo primero su
ecuación ordinaria o canónica.

a) x2 + 2x - 16y - 63 = 0
b) y2- 6y + 32x + 73 = 0
c) x2-10x -8y + 1 = 0

Answer 1

Explicación paso a paso:

Los elementos de la parábola son:

Vértice, Parámetro P, Lado Recto, Foco, Ecuación de la Directriz, Ecuación del eje o Eje de simetría.

a) $x^2+2x-16y-63=0$

Pasaremos la ecuación a la forma ordinaria o canónica $(x-h)^2=4P(y-k)$, donde el vértice es $V(h,k)$:

$x^2+2x=16y+63$

Completando el Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP), tenemos:

$x^2+2x+1=16y+63+1=16y+64$

$(x+1)^2=16(y+4)$  ====> Forma ordinaria o canónica

Se trata de una parábola vertical que abre hacia arriba (16 es positivo).

Vértice: V(h,k) = V(-1,-4)

Parámetro P: |4P| = |16|; |P| = |16 / 4|; P = 4

Lado Recto: |LR| = |4P| = |4(4)|; LR = 16

Foco: F(h,k+P) = F(-1,-4+4) = F(-1,0)

Ecuación de la Directriz: y = k - P = -4 - 4 = -8; y + 8 = 0

Ecuación del Eje: x = h = -1; x + 1 = 0

b) $y^2-6y+32x+73=0$

Pasaremos la ecuación a la forma ordinaria o canónica $(y-k)^2=4P(x-h)$, donde el vértice es $V(h,k)$:

$y^2-6y=-32x-73$

Completando el Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP), tenemos:

$y^2-6y+9=-32x-73+9=-32x-64$

$(y-3)^2=-32(x+2)$  ====> Forma ordinaria o canónica

Se trata de una parábola horizontal que abre hacia la izquierda (32 es negativo).

Vértice: V(h,k) = V(-2,3)

Parámetro P: |4P| = |-32|; |P| = |-32 / 4|; P = 8

Lado Recto: |LR| = |4P| = |4(8)|; LR = 32

Foco: F(h-P,k) = F(-2-8,3) = F(-10,3)

Ecuación de la Directriz: x = h + P = -2 + 8 = 6; x - 6 = 0

Ecuación del Eje: y = k = 3; y - 3 = 0

c) $x^2-10x-8y+1=0$

Pasaremos la ecuación a la forma ordinaria o canónica $(x-h)^2=4P(y-k)$, donde el vértice es $V(h,k)$:

$x^2-10x=8y-1$

Completando el Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP), tenemos:

$x^2-10x+25=8y-1+25=8y+24$

$(x-5)^2=8(y+3)$  ====> Forma ordinaria o canónica

Se trata de una parábola vertical que abre hacia arriba (8 es positivo).

Vértice: V(h,k) = V(5,-3)

Parámetro P: |4P| = |8|; |P| = |8 / 4|; P = 2

Lado Recto: |LR| = |4P| = |4(2)|; LR = 8

Foco: F(h,k+P) = F(5,-3+2) = F(5,-1)

Ecuación de la Directriz: y = k - P = -3 - 2 = -5; y + 5 = 0

Ecuación del Eje: x = h = 5; x - 5 = 0