Respuestas
Respuesta:
Yo te Explico
Explicación paso a paso:
Puedes resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado, reescribiendo parte de la ecuación como un trinomio cuadrado perfecto. Si completas el cuadrado de una ecuación genérica ax2 + bx + c = 0 y luego resuelves x, encuentras que . A esta ecuación se le conoce como ecuación cuadrática.
Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o imposibles de factorizar y usarla puede ser más rápido que completar el cuadrado. La fórmula cuadrática puede usarse para resolver cualquier ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0.
Forma estándar
La forma ax2 + bx + c = 0 se llama la forma estándar de una ecuación cuadrática. Antes de resolver una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática, es vital estar seguros de que la ecuación tenga esta forma. Si no, podríamos usar los valores incorrectos de a, b, o c y la fórmula dará soluciones incorrectas.
Ejemplo
Problema
Reescribe la ecuación 3x + 2x2 + 4 = 5 en su forma estándar e identifica a, b y c.
3x + 2x2 + 4 = 5
3x + 2x2 + 4 – 5 = 5 – 5
Primero asegúrate de que el lado derecho de la ecuación sea 0. En este caso, todo lo que tienes que hacer es restar 5 de ambos lados.
3x + 2x2 – 1 = 0
2x2 + 3x – 1 = 0
Simplifica y escribe los términos con el exponente en la variable en orden descendiente.
2x2
+
3x
–
1
=
0
↓
↓
↓
ax2
bx
c
a = 2, b = 3, c = −1
Ahora que la ecuación está en su forma estándar, puedes leer los valores de a, b y c de los coeficientes y la constante. Observa que como la constante 1 se resta, c debe ser negativa.
Respuesta
2x2 + 3x – 1 = 0; a = 2, b = 3, c = −1
Ejemplo
Problema
Reescribe la ecuación 2(x + 3)2 – 5x = 6 en su forma estándar e identifica a, b y c.
2(x + 3)2 – 5x = 6
2(x + 3)2 – 5x – 6 = 6 – 6
Primero asegúrate de que el lado derecho de la ecuación sea 0.
2(x2 + 6x + 9) – 5x – 6 = 0
2x2 + 12x + 18 – 5x – 6 = 0
2x2 + 12x – 5x + 18 – 6 = 0
2x2 + 7x + 12 = 0
Expande el binomio cuadrado, luego simplifica combinando términos semejantes.
Asegúrate de escribir los términos con el exponente en la variable en orden descendiente.
2x2
+
7x
+
12
=
0
↓
↓
↓
a
b
c
a = 2, b = 7, c = 12
Ahora que la ecuación está en su forma estándar, puedes leer los valores de a, b y c de los coeficientes y la constante.
Respuesta
2x2 + 7x + 12 = 0; a = 2, b = 7, c = 12
Identifica los valores de a, b y c en su forma estándar de la ecuación 3x + x2 = 6.
A) a = 3, b = 1, c = 6
B) a = 1, b = 3, c = 6
C) a = 1, b = 3, c = −6
D) a = 3, b = 1, c = −6
Mostrar/Ocultar Respuesta
Derivando la fórmula cuadrática
Completemos el cuadrado en la ecuación general para ver exactamente cómo se produce la fórmula cuadrática. Recuerda el proceso de completar el cuadrado.
· Empieza con una ecuación de la forma x2 + bx + c = 0.
· Reescribe la ecuación de modo que x2 + bx quede despejado a un lado.
· Completa el cuadrado sumando a ambos lados.
· Reescribe el trinomio cuadrado perfecto como el cuadrado de un binomio.
· Usa la propiedad de la raíz cuadrada y resuelve x.
¿Puedes completar el cuadrado en la ecuación cuadrática general ax2 + bx + c = 0? Inténtalo tú antes de continuar con el ejemplo siguiente. Pista: Observa que en la ecuación general, el coeficiente de x2 no es igual a 1. Puedes dividir la ecuación entre a, lo que hace las expresiones un poco complicadas, pero si tienes cuidado, puede salir bien y al final, ¡tendrás la fórmula cuadrática!
Ejemplo
Problema
Calcula el cuadrado de ax2 + bx + c = 0 para encontrar la fórmula cuadrática.
Divide entre a ambos lados de la ecuación para que el coeficiente de x2 sea 1.
Reescribe de modo que el lado izquierdo sea x2 + bx (aunque en este caso bx realmente es ).
Como el coeficiente de x es , el valor a sumar a ambos lados es .
Escribe el lado izquierdo como un binomio cuadrado.
Evalúa como .
Escribe las fracciones en el lado derecho usando un común denominador.
Suma las fracciones de la derecha.
Usa la Propiedad de la Raíz Cuadrada. ¡Recuerda que quieres las dos raíces, positiva y negativa!
Resta de ambos lados para despejar x.
El denominador dentro del radical es un cuadrado perfecto, entonces:
Respuesta
Suma las fracciones ya que tienen un común denominador.
Y ahí está, la fórmula cuadrática.