Question

Tomando la integral compuesta por

$\int\limits^{1,0}_{0,5} (x\:+\:ln(x))\:dx$

Adoptando 6 subintervalos de resolución.

Considerando el texto mencionado anteriormente y los conceptos de la Regla $\dfrac{3}{8}$ de Simpson, analice las siguientes afirmaciones:

I. Según la regla $\dfrac{3}{8}$ de Simpson, esto da como resultado aproximadamente $0,22157$.

II. Según la dimensión límite superior definida por 96, tenemos un error de $2,89 * 10^{- 5}$
III. Considerando 6 subintervalos (es decir, 7 puntos para este caso), tenemos una amplitud de $h = \dfrac{1}{12}$

IV. El número mínimo de subintervalos es la integral con el valor de la cuota límite superior para el error menor que $10^{-5}$ son 7 subintervalos.

Lo que se dice es correcto, en:

Alternativa 1:
I y II

Alternativa 2:
I y III.

Alternativa 3:
II y IV.

Alternativa 4:
I, II y III.

Alternativa 5:
II, III y IV.

Answer 1

La regla o método de Simpson  3/8 es una variante del método de Simpson que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:

${\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Usando la expresión:

${\displaystyle I\approx {\frac {3h}{8}}\left[f(x_{0})+3\sum _{i=0}^{{\frac {n}{3}}-1}f(x_{3i+1})+3\sum _{i=0}^{{\frac {n}{3}}-1}f(x_{3i+2})+2\sum _{i=0}^{{\frac {n}{3}}-2}f(x_{3i+3})+f(x_{n})\right]}$

Donde:

${\displaystyle h={\dfrac {(b-a)}{n}}}$

Y n es el número de puntos del intervalo. En este caso 6. El error esta dado por:

${\displaystyle E(f)={\frac {n}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )}$

Donde f⁴(ξ) es la 4ta derivada de la f(x) y ξ es un punto del intervalo.

Resolución

Tenemos n= 6, con b = 1 y a = 0.5 por tanto:

${\displaystyle h={\dfrac {(b-a)}{n}}} = \dfrac{1-0.5}{6} = \dfrac{1}{12}$

Se sabe que f(x) = x + ln(x). Tomando 6 puntos equidistantes en el intervalo, y los respectivos valores de la función en dichos puntos:

n      xₙ                             f(xₙ)

0      0,5                           -0,193147181

1       0,583333333          0,044336833

2      0,666666667          0,261201559

3      0,75                          0,462317928

4      0,833333333          0,651011777

5      0,916666667          0,82965529

6       1                              1

Finalmente tenemos:

I = 3(1/12)/8 [ -0,193147181 + 3(0,044336833  + 0,261201559 + 0,651011777  +  0,82965529) + 2* + 0,462317928  + 1 ]

I = 0,221565783

Para calcular el error derivamos f(x) 4 veces:

$\dfrac{d}{dx}\left(x+\ln \left(x\right)\right)=1+\dfrac{1}{x}$

$\dfrac{d^2}{dx^2}\left(x+\ln \left(x\right)\right)=-\dfrac{1}{x^2}$

$\dfrac{d^3}{dx^3}\left(x+\ln \left(x\right)\right)=\dfrac{2}{x^3}$

$\dfrac{d^4}{dx^4}\left(x+\ln \left(x\right)\right)=-\dfrac{6}{x^4}$

Luego el error máximo, sera tomando el menor punto del intervalo, esto es ξ = 0.5:

${\displaystyle E(f)={\frac {n}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )}\\\\{\displaystyle E(f)={\frac {6}{80}}\left(\dfrac{1}{12}\right)^{5}\dfrac{-6}{(0.5)^4}}\\\\{\displaystyle E(f)=2.89\cdot10^{-5}}$

Concluimos entonces que la alternativa I, II y III son correctas. (Alternativa 4)

Nota:

La proposición IV no es válida, Los subintervalos para este método deben ser múltiplos de 3.

ANEXOS:

Te adjunto una Hoja de Cálculo de Excel, donde programé esté método para la situación propuesta y comprobé los cálculos.

760c0b92b53e5c7fd8272c6767311908.xlsx