Question

Se sabe que el costo total de producir x unidades de un determinado bien es

CT(x)= x 3 – 27x + 128. Calcular:

a. El costo total mínimo

b. El costo medio mínimo

Answer 1

a. Debes derivar tu función:
$CT(x)=x^3-27x+128 \\ \frac{d}{dx}CT(x)=3x^2-27\\3x^2-27=0 \\x^2-9=0 \\(x+3)(x-3)=0\\\text{Tomas la solucion positiva}\\x=3 \\ \\ \text{vuelves a derivar y sustituir para comprobar que es un minimo}\\ \frac{d^2}{dx^2}CT(x)=6x \\ \frac{d^2}{dx^2} CT(3)=6(3)=18 \\ \\ \text{como el valor es positivo es un minimo}$

b. Primero divides entre "x" tu función para obtener la función de costo medio y después derivas:
$CMe(x)= \frac{CT(x)}{x}= \frac{x^3-27x+128}{x}=x^2-27+ \frac{128}{x} \\ \frac{d}{dx}CMe(x)=2x- \frac{128}{x^2} \\\\ 2x- \frac{128}{x^2}=0 \\ x- \frac{64}{x^2}=0 \\x^3-64=0\\(x-4)(x^2+4x+16)=0 \\ x=4 \\ \\ \text{Vuelves a derivar y sustituir para comprobar que es un minimo}\\ \frac{d^2}{dx^2}CMe(x)=1+ \frac{128}{x^3} \\\frac{d^2}{dx^2}CMe(4)=1+ \frac{128}{4^3}=1+2=3 \\ \\ \text{Como el valor es positivo entonces es un minimo}$

Costo Total mínimo:
CT(3) = 3³ - 27(3) + 128 = 74

Costo Medio mínimo:
CMe(4) = 4² - 27 + 128/4 = 21

Saludos!