Question

Un puente tiene forma semieliptica. Si su ancho es de 30m y su altura
maxima es de 12m, calcula su altura a 13m del centro.​

Answer 1

La altura del puente a 13 metros del centro es de 5,98 metros

Se tiene un puente de forma semielíptica, cuyo ancho es de 30 metros y su altura máxima es de 12 metros

Se pide calcular su altura a 13 metros del centro

Solución

Ubicamos el puente con forma de semielipse en el plano cartesiano de la siguiente manera:

Hacemos coincidir su centro en el origen de coordenadas, por lo tanto su altura máxima, que es de 12 metros se encontrara sobre el eje y.

Y su ancho de 30 metros se ubicará sobre el eje x. El cual sería el eje mayor

Donde

La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es horizontal está dada por:

$\large\boxed{ \bold{ \frac{(x - x_{0})^{2} }{a^{2} } + \frac{(y - y_{0})^{2} }{b^{2} } = 1 }}$

Donde

$\bold{ x_{0}, y_{0}} \ \ \ \large\textsf{Coordenadas x e y del centro }$

$\bold{ a} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Semieje de abscisas }$

$\bold{ b} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Semieje de ordenadas }$

Para este caso del ejercicio el centro se encuentra en el origen

$\boxed { \bold{ C(0, 0) \ \ \ \ \ \ \to h= 0 \ , \ k= 0 } }}$

Sabemos que

El eje mayor o principal es el segmento cuya longitud es 2a

El cual coincide con el ancho del puente sobre el  eje x o el de las abscisas

Hallamos el semieje mayor

Que es el segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a

Dado que conocemos que el eje mayor horizontal (2a) mide 30 metros

Planteamos

$\boxed { \bold{ 2a = 30 }}$

$\boxed { \bold{ a = \frac{30}{2} }}$

$\large\boxed { \bold{ a = 15 \ metros }}$

Buscamos el semieje menor

El cual es el segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud es b

Siendo una semielipse la magnitud de b resulta ser la altura máxima del puente, la cual mide 12 metros

$\large\boxed { \bold{ b = 12 \ metros }}$

Empleamos la forma de la ecuación canónica de una elipse

$\large\boxed{ \bold{ \frac{(x - x_{0})^{2} }{a^{2} } + \frac{(y - y_{0})^{2} }{b^{2} } = 1 }}$

$\boxed { \bold{ C(0, 0) \ \ \ \ \ \ \to x_{0}= 0 \ , \ y_{0}= 0 } }}$

Reemplazamos

$\boxed{ \bold{ \frac{(x - x_{0})^{2} }{a^{2} } + \frac{(y - y_{0})^{2} }{b^{2} } = 1 }}$

$\boxed{ \bold{ \frac{(x -0)^{2} }{15^{2} } + \frac{(y - 0)^{2} }{12^{2} } = 1 }}$

$\boxed{ \bold{ \frac{x^{2} }{15^{2} } + \frac{y^{2} }{12^{2} } = 1 }}$

$\boxed{ \bold{ \frac {x ^{2} }{225 } + \frac{y^{2} }{144} } = 1 }}$

Calculamos la altura a 13 metros del centro

Evaluamos la ecuación para x= 13

$\boxed{ \bold{ \frac {13 ^{2} }{225 } + \frac{y^{2} }{144} } = 1 }}$

$\boxed{ \bold{ \frac {169 }{225 } + \frac{y^{2} }{144} } = 1 }}$

$\boxed{ \bold{ \frac{y^{2} }{144} = 1 - \frac {169 }{225 } }}$

$\boxed{ \bold{ \frac{y^{2} }{144} = \frac{225}{225} - \frac {169 }{225 } }}$

$\boxed{ \bold{ \frac{y^{2} }{144} = \frac{56}{225} }}$

$\boxed{ \bold{ 144 \ . \ \frac{y^{2} }{144} =144 \ . \ \frac{56}{225} }}$

$\boxed{ \bold{ y^{2} =144 \ . \ \frac{56}{225} }}$

$\boxed{ \bold{ y^{2} =9 \ . \ (16) \ . \ \frac{56}{9 \ . (25)} }}$

$\boxed{ \bold{ y^{2} =16 \ . \ \frac{56}{25} }}$

$\boxed{ \bold{ y^{2} = \frac{896}{25} }}$

$\boxed{ \bold{ y =\pm \sqrt{ \frac{896}{25} } }}$

$\boxed{ \bold{ y =\pm \frac{ \sqrt{896} }{\sqrt{25} } }}$

$\boxed{ \bold{ y =\pm \frac{ \sqrt{8^{2} \ . \ 14 } }{\sqrt{25} } }}$

$\large\boxed{ \bold{ y = 5,986651 \ , - 5,986651 }}$

Tomamos la solución positiva por tratarse de una medida de longitud

$\large\boxed{ \bold{ y = 5,98 \ metros }}$