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Respuesta:
29
Explicación paso a paso:
Probablemente haya alguna forma más elegante de resolverlo aplicando propiedades de los triángulos, pero utilizaré el teorema del seno porque no se me ocurre ahora otra forma:
Tenemos que el ángulo A es el doble que el ángulo C. Es decir:
A = 2C
B = 180º - A - C = 180º - 2C - C = 180º - 3C
La bisectriz de B lo divide en dos ángulos iguales de 90º - (3/2)C
Por el teorema del seno:
sen(90º - (3/2)C) / 10 = sen(2C) / BP
=> BP = 10·sen(2C) / cos((3/2)C)
Por el miso teorema:
sen(90º - (3/2)C) / PC = sen(C) / BP
=> PC = BP·cos((3/2)C) / sen(C)
=> PC = (10·sen(2C) / cos((3/2)C))·cos((3/2)C) / sen(C)
= 10·sen(2C) / sen(C)
= 10·2·sen(C)·cos(C) / sen(C)
= 20·cos(C)
=> AC = 10 + 20·cos(C)
El mayor valor entero de AC según la expresión anterior sería 30, pero para ello cos(C) = 1 => C = 0º, con lo que no tendríamos triángulo. El valor entero más alto es, por tanto, 29.
Aunque no te lo preguntan, C = arccos(19/20)