Question

De verdad necesito ayuda para esto!
Obtener la ecuación de la recta tangente y normal a la curva f(x)=x^3-4x^2+x-3 en el punto de abscisa X=3, graficar en el plano las 3 funciones.

Answer 1

Explicación:

La ecuacion de toda recta es :

$(y - yo) = m(x - xo)$

para realizar esto tener en cuenta que:

$(mt)(mn) = - 1$

donde mt = la pendiente tangente y mn = la pendiente normal.

Obtener el punto ( Xo , Yo):

$yo = f(3) \\ yo = {(3)}^{3} - 4 {(3)}^{2} + (3) - 3 \\ yo = - 9 \\ el \: punto \: seria \: (3 \: \: . - 9)$

este punto sirve para ambas rectas.

Derivamos la función para obtener la pendiente tangente.

$sea \: f(x) = {x}^{3} - 4 {x}^{2} + x - 3 \\ mt = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}( {x}^{3} - 4 {x}^{2} + x - 3) \\ mt(x) = 3 {x}^{2} - 8x + 1$

Ahora evaluamos el punto de X=3:

$mt(3) = 3 {(3)}^{2} - 8(3) + 1 \\ mt(3) = 4$

Ahora obtener la pendiente normal:

$(mt)(mn) = - 1 \\ (4)(mn) = - 1 \\ mn = - \frac{1}{4}$

Obtendremos las ecuaciones de las rectas con sus respectivas pendientes.

$= > recta \: tangente \\ (y - yo) = mt(x - xo) \\ (y - ( - 9)) = (4)(x - 3) \\ y + 9= 4x - 12 \\ y = 4x - 21$

$= > recta \: normal \\ (y - yo) = mn(x - xo) \\ (y - ( - 9)) = ( - \frac{1}{4} )(x - 3) \\ y + 9 = \frac{3}{4} - \frac{x}{4} \\ y = - \frac{x}{4} - \frac{33}{4}$

Espero que te sirva para próximos problemas