Question

Determine si el conjunto S genera a R3:
S= {(1,-1,1),(0,2,3) (4,3,1)}​

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

             Conjunto generador

Recordemos la definición:

"Los vectores v₁......vₖ de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de si mismos. Es decir para todo v ∈ V van a existir escalares λ₁,....,λₖ tales que:"

                v= λ₁v₁+.......+λₖvₖ

Vamos al ejercicio

Sea (x,y,z) ∈ R³, debemos probar si todo vector de R³ se puede expresar como una combinación lineal de (1,-1,0), (0,2,3), (4,3,1)

Ósea debemos ver que existen escalares α, β, ω para todo (x,y,z) tal que:

α(1,-1,1) + β(0,2,3) + ω(4,3,1)= (x,y,z)

Realizamos la multiplicación

(α, -α, α) + (0β, 2β, 3β) + (4ω, 3ω, ω)=  (x,y,z)

De aquí formamos el siguiente sistema de ecuaciones

α + 4ω= x

-α + 2β +3ω= y

α + 3β + ω= z

Resolvemos este sistema, usando el método de Gauss (ver archivo)

La solución es:

α +4ω= x

3β -3ω= z - x

9ω= 5/3x + y - 2/3z

Vamos despejando

Ecuación 3

$w= \frac{5}{27}x + \frac{1}{9} y - \frac{2}{27} z$

Ecuación 2

$3\beta -3(\frac{5}{27}x+\frac{1}{9}y-\frac{2}{27}z)= z-x$

$3\beta -\frac{1}{9}y=z-x+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}z$

$3\beta = -\frac{4}{9}x+\frac{1}{9}y+\frac{7}{9}z$

$\beta = -\frac{4}{27}x+\frac{1}{27} y+\frac{7}{27} z$

Ecuación 1

$\alpha +4(\frac{5}{27}x+\frac{1}{9}y-\frac{2}{27}z)= x$

$\alpha +\frac{20}{27}x+\frac{4}{9} y-\frac{8}{27}z =x$

$\alpha = \frac{7}{27}x-\frac{4}{9}y+\frac{8}{27}z$

Finalmente sustituimos para hallar la expresión que buscamos:

α(1,-1,1) + β(0,2,3) + ω(4,3,1)= (x,y,z)

$(x,y,z)= \frac{7x+8z-12y}{27} *(1,-1,1) + \frac{-4x+y+7z}{27} *(0,2,3)+\frac{5x+3y-2z}{27}*(4,3,1)$

Por lo tanto tenemos que cualquier vector (x,y,z) ∈ R³ se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de S, eso implica que S genera a R³

Saludoss

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