Question

Determina la ecuación de la elipse horizontal centrada en el origen cuyo eje mayor horizontal mide 90 y su distancia focal mide 72​

Answer 1

La ecuación de la elipse dada es

$\large\boxed{ \bold{ \frac {x ^{2} }{2025 } + \frac{y^{2} }{729} } = 1 }}$

Elipse

Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

Por lo tanto la distancia desde cualesquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos denominados focos (F y F') es siempre la misma.

Elementos de la elipse

Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Es también centro de simetría

Focos: Son los puntos fijos F y F'

Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría   

Eje secundario: El eje perpendicular al eje principal, siendo la mediatríz del segmento que une los focos (F F')

Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes

Radios vectores: Cada punto de la elipse tiene dos radio vectores. Siendo los puntos que van desde un punto de esta a los focos

Distancia focal: Es la distancia entre los focos. Su longitud es 2·c

Semidistancia focal: Es la distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c

Eje mayor o principal: Es el segmento cuya longitud es 2a

Semieje mayor o principal: Es el segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a

Eje menor o secundario: Es el segmento cuya longitud es 2b  

Semieje menor o secundario:  Es el segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud es b

Solución

Se tiene una elipse horizontal, centrada en el origen

Donde se conocen las magnitudes del eje mayor horizontal y su distancia focal

Hallamos la longitud del semieje mayor

Dado que conocemos que el eje mayor horizontal (2a) mide 90 unidades

Planteamos

$\boxed { \bold{ 2a = 90 }}$

$\boxed { \bold{ a = \frac{90}{2} }}$

$\large\boxed { \bold{ a = 45 \ unidades }}$

Hallamos la  magnitud de la semidistancia focal

Dado que conocemos que la distancia focal (2c) mide 72 unidades

Planteamos

$\boxed { \bold{ 2c = 72 }}$

$\boxed { \bold{ c = \frac{72}{2} }}$

$\large\boxed { \bold{ c = 36 \ unidades }}$

Hallamos la longitud del semieje menor

Con los datos que tenemos podemos calcular la longitud del semieje menor (b)

Sabiendo que la relación entre la distancia focal y los semiejes es pitagórica

Planteamos

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} \ - \ c^{2} }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 45^{2} \ - \ 36^{2} }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 2025 \ - \ 1296}}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ b^{2} } = \sqrt{729} }}$

$\boxed {\bold { b = \pm\ 27 }}$

Como se trata de una medida de longitud tomamos el valor positivo

$\large\boxed {\bold { b = 27\ unidades }}$

Determinando la ecuación de la elipse

La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es horizontal está dada por:

$\large\boxed{ \bold{ \frac{(x - x_{0})^{2} }{a^{2} } + \frac{(y - y_{0})^{2} }{b^{2} } = 1 }}$          

Donde

$\bold{ x_{0}, y_{0}} \ \ \ \large\textsf{Coordenadas x e y del centro de la elipse }$

$\bold{ a} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Semieje de abscisas }$

$\bold{ b} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Semieje de ordenadas }$

Para este caso el centro de la elipse se encuentra en el origen

$\boxed { \bold{ C(0, 0) \ \ \ \ \ \ \to x_{0}= 0 \ , \ y_{0}= 0 } }}$

Reemplazamos

$\boxed{ \bold{ \frac{(x - x_{0})^{2} }{a^{2} } + \frac{(y - y_{0})^{2} }{b^{2} } = 1 }}$

$\boxed{ \bold{ \frac{(x -0)^{2} }{45^{2} } + \frac{(y - 0)^{2} }{27^{2} } = 1 }}$

$\boxed{ \bold{ \frac{x^{2} }{45^{2} } + \frac{y^{2} }{27^{2} } = 1 }}$

$\large\boxed{ \bold{ \frac {x ^{2} }{2025 } + \frac{y^{2} }{729} } = 1 }}$