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Respuesta:
Dado: la ecuación dada es (3x ^ 2y ^ 4 + 2xy) dx + (2x ^ 3y ^ 3 - x ^ 2) dy = 0
Para encontrar: Ahora tenemos que encontrar el factor de integración de la ecuación anterior.
Solución:
(3x ^ 2y ^ 4 + 2xy) dx + (2x ^ 3y ^ 3-x ^ 2) dy = 0 ............. (1)
sea, M = 3x ^ 2 * y ^ 4 + 2xy
dM / dy = 12x²y³ + 2x
y N = 2x ^ 3 * y ^ 3-x ^ 2
dN / dx = 6x²y³ - 2x
Dado que dM / dy ≠ dN / dx, DE no es exacto.
ù (y) = exp ∫ [(dN / dx - dM / dy) / M] dy
ù (y) = exp ∫ [(6x²y³ - 2x - 12x²y³ - 2x) / (3x²y⁴ + 2xy)] dy
ù (y) = exp ∫ [(-6x²y³ - 4x) / (3x²y⁴ + 2xy)] dy
ù (y) = exp ∫ -2 / y dy = 1 / y²
multiplicar la ecuación 1 en ambos lados por ù (y) = 1 / y², obtenemos
(3x²y² + 2x / y) dx + (2x³y - x² / y²) dy = 0
dM / dy = 6x²y -2x / y²
dN / dx = 6x²y -2x / y²
dM / dy = dN / dx, DE es exacta ...
gl / dx = 3x²y² + 2x / y .................. (i)
gl / dy = 2x³y - x² / y² ................ (ii)
integrar (i) wrt x, obtenemos
f (x, y) = x³y³ + x² / y + h (y) ................ (iii)
diferenciar por encima de wrt y, obtenemos
gl / dy = 2x³y - x² / y² + h '(y)
comparar arriba y (ii), obtenemos
h '(y) = 0
integramos ambos lados wrt y, obtenemos h (y) = c₁
por lo tanto, la ecuación (iii) se convierte en
f (x, y) = x³y² + x² / y = c1 = 0
x³y² + x² / y = c
Espero que te sirva de ayuda,
Si es así me puedes dar una corona, garcias