Question

Se desea cercar un terreno rectangular donde uno de sus lados colinda con un río, este lado no se piensa cercar. Se dispone de 1200 metros lineales de cerca, ¿Cuáles son las dimensiones del terreno a fin de maximizar el área de la cerca?

Answer 1

Se trata de un problema de optimización. Tenemos 1200 metros de cerca, por tanto se cumplirá que:

y + y + x = 1200

2y + x = 1200

x = 1200 - 2y

El área del terreno está dada por el área del rectángulo:

A = xy

A = (1200-2y)y

A = 1200y - 2y²

Y requerimos que el área sea máxima. Sabemos que el máximo de una función ocurre cuando su derivada se anula, por tanto:

$A' = 1200 - 4y = 0\\4y = 1200\\y = \dfrac{1200}{4}\\y = 300\;m$

Luego:

x = 1200 - 2y

x = 1200 - 2(300)

x = 600 m

R/ Las dimensiones del terreno a fin de maximizar el área de la cerca son 600 x 300 metros.

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Answer 2

Las dimensiones del terreno rectangular donde uno de sus lados colinda con un río y se desea cercar con 1200 m de cerca son:

• 600 ms de largo
• 300 ms de ancho

¿Cuál es el área de un rectángulo?

Un rectángulo es un polígono de cuatro lados, con la característica que sus lados opuestos son iguales.

El área de un rectángulo es el producto de sus dimensiones o lados.

A = a × b

Siendo;

• a: largo
• b: ancho

¿Cómo obtener máximos y mínimos?

Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.

Criterio de la segunda derivada:

• Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
• Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.

¿Cuáles son las dimensiones del terreno a fin de maximizar el área de la cerca?

Definir las dimensiones del terreno;

• a: largo
• b: ancho

Ecuaciones

1. P = a + 2b = 1200
2. A = (a)(b)

Aplicar método de sustitución;

Despejar a de 1;

a = 1200 - 2b

Sustituir a en 2;

A = (1200 - 2b)(b)

A = 1200b - 2b²

Aplicar primera derivada;

A' = d/db (1200b - 2b²)

A' = 1200 - 4b

Aplicar segunda derivada;

A'' = d/db (1200 - 4b)

A'' = -4 ⇒ Máximo relativo

Igualar A' a cero;

1200 - 4b = 0

4b =1200

b = 1200/4

b = 300 m

Sustituir;

a = 1200 - 2(300)

a = 600 m

Sustituir;

Amax = 1200(300) - 2(300)²

Amax = 180000 m²

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