Question

Un fabricante de televisores desea que la pantalla rectangular tenga 3 pulgadas más de longitud que su altura, y que su diagonal sea 6 pulgadas más larga que la altura. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la pantalla?

Answer 1

Las dimensiones de la pantalla serán de 9 pulgadas para la altura, de 12 pulgadas para el largo y de 15 pulgadas para la diagonal

Solución

La pantalla del televisor es un rectángulo, en donde si trazamos su diagonal esta queda dividida en dos triángulos rectángulos congruentes

En donde el ancho y el largo del televisor serían los catetos, y la diagonal la hipotenusa del triángulo rectángulo.

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\boxed {\bold { cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} = hipotenusa^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} \ + \ b^{2} = \ c^{2} }}$

Donde según los requerimientos del fabricante podemos decir

Llamaremos variable x a su altura,

$\large\textsf{Altura = x }$    

y sabiendo que el largo debe ser 3 pulgadas mayor que la altura será (x+3)

$\large\textsf{Largo = (x + 3) }$

y sabiendo que la diagonal debe ser 6 pulgadas más larga que la altura será (x+6)

$\large\textsf{Diagonal = (x + 6) }$

Aplicando teorema de Pitágoras

$\boxed {\bold { a^{2} \ + \ b^{2} = \ c^{2} }}$

Podemos reescribir

$\boxed {\bold { x^{2} + (x+3)^{2} = (x+6)^{2} }}$

$\boxed {\bold { x^{2} + (x+3)^{2} = (x+6) (x+6) }}$

Expandimos (x+6) (x+6)

$\boxed {\bold { x^{2} + (x+3)^{2} = x^{2} + 6x + 6x +36 }}$

$\boxed {\bold { x^{2} + (x+3)^{2} = x^{2} + 12x +36 }}$

$\boxed {\bold { x^{2} + (x+3)(x+3) = x^{2} + 12x +36 }}$

Expandimos (x+3) (x+3)

$\boxed {\bold { x^{2} + x^{2} + 3x +3x+9 = x^{2} + 12x +36 }}$

$\boxed {\bold { x^{2} + x^{2} + 6x +9 = x^{2} + 12x +36 }}$

Ordenamos los términos e igualamos a 0

$\boxed {\bold { x^{2} + x^{2} + 6x +9 - x^{2} - 12x -36 = 0 }}$

$\large\boxed {\bold { x^{2} - 6x -27 = 0 }}$

$\large\textsf{Tenemos una ecuaci\'on de segundo grado }$

La cual se puede resolver para x

a) Por factorización

$\boxed {\bold { x^{2} \ - \ 6x - \ 27 = 0 }}$

$\large\textsf{Considerando la forma: } \bold {ax^{2} + bx + c}$

$\large\textsf{Hallamos un par de enteros cuyo producto sea c y su suma sea b }$

$\large\textsf{Donde el producto es -27 y la suma es -6 }$

Los números enteros son:

$\boxed{ \bold{ -9 , \ 3 }}$

$\large\textsf{Escribimos en forma factorizada empleando esos n\'umeros enteros }$

$\boxed{ \bold{(x -9 ) (x+3) = 0 }}$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a  0 , la expresión completa será igual a  0

Luego

$\boxed{ \bold{x -9 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = 9 }}$

$\boxed{ \bold{x + 3 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = -3 }}$

La solución completa son los valores que hacen  a (x-9)(x+3) = 0 verdadero

$\large\boxed{ \bold{x = 9, - 3 }}$

b) Empleando la fórmula cuadrática

$\large\textsf{F\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = 1, b =-6 y c = -27 }$

$\large\textsf{Para resolver para x }$    

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 6 \pm \sqrt{ (-6)^2 - 4\ . \ (1 \ . \ -27) } }{2 \ . \ 1} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 6 \pm \sqrt{ 36 - \ 4\ . \ -27 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 6 \pm \sqrt{ 36 +108 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 6 \pm \sqrt{ 144 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 6 \pm \sqrt{ 12^{2} } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 6 \pm12 }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = 3 \pm6 }}$

$\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$  

$\large\boxed{ \bold{x = 9, - 3 }}$

$\large\textsf {Se toma el valor positivo de x dado que es una medida de longitud }$

$\large\boxed{ \bold{x = 9 }}$

Nota: Se ha hallado el valor de la variable x por 2 métodos, en donde no es necesario que se resuelva el problema desarrollando ambos. Se han desarrollado los dos para que ustedes empleen cualquiera de ellos, o con el que se sientan más familiarizados :)

Luego

$\large\textsf{Altura = x }$

$\large\textsf{Altura = 9 pulgadas }$

$\large\textsf{Largo = (x + 3) }$

$\large\textsf{Largo = (9 + 3) = 12 pulgadas}$

$\large\textsf{Diagonal = (x + 6) }$

$\large\textsf{Diagonal = (9 + 6) = 15 pulgadas }$