Question

Un triángulo tiene los vértices O(0,0), A(6,0) y B(0,3).
a) Dibuja y escribe la ecuación de la recta tangente que contiene el segmento AB.
b) Consideramos un punto P situado sobre el segmento AB, y dibujamos el rectángulo que tiene por diagonal OP y dos lados sobre los ejes de coordenadas. Determinad las coordenadas de P que hacen máxima el área del rectángulo.
(*) Necesito el procedimiento completo junto con la explicación. Muchas gracias :)

Answer 1

a) Recta AB:
     y = y₁+m(x-x₁)
     y = 0 + (-$\frac{1}{2}$)(x-6)
     y = -$\frac{1}{2} x+3$
b)  La coordenada genérica del punto P(x,y) es:
             P(x,-$\frac{1}{2} x+3$)
     Por lo que el área del rectángulo será:
        A = f(x) = xy = x(-$\frac{1}{2} x+3$)
               f(x) = -$\frac{1}{2} x^2+3x$
    Para hallar el máximo hacemos  f '(x) = 0
               f '(x) = -x+3
                          -x+3 = 0 ⇒ x = 3
               f ''(x) = -1  Máx
    La coordenada del punto P reemplazando:
          P(x,-$\frac{1}{2} x+3$) = (3, 3/2)

           El área máxima es  f(3) = 9/2 ó  4,5 unidades cuadradas

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