Question

traza lagráfica determina las coordenadas del centro radio las ecuaciones en forma ordinaria y general para la circunferencia que pasa por los puntos A (1,1) B (3,5) C (-1,5) ​

Answer 1

Explicación paso a paso:

Comenzaremos con la ecuación general para la circunferencia:

$x^2+y^2+Cx+Dy+E=0$

Los puntos A(1,1), B(3,5) y C(-1,5) satisfacen la ecuación de la circunferencia puesto que forman parte de ella. Por lo tanto, sustituiremos las coordenadas de estos puntos en la ecuación general y obtendremos 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Al resolverlas tendremos los valores de $C$, $D$ y $E$.

• Para A(1,1):

$(1)^2+(1)^2+C(1)+D(1)+E=0$

$2+C+D+E=0$

$C+D+E=-2$  ===> Ec(1)

• Para B(3,5):

$(3)^2+(5)^2+C(3)+D(5)+E=0$

$9+25+3C+5D+E=0$

$3C+5D+E=-34$  ====> Ec(2)

• Para C(-1,5):

$(-1)^2+(5)^2+C(-1)+D(5)+E=0$

$1+25-C+5D+E=0$

$-C+5D+E=-26$

$C-5D-E=26$  ===> Ec(3)

Para resolver las 3 ecuaciones con 3 incógnitas. sumaré la Ec(2) y la Ec(3):

3C + 5D + E = -34

 C  - 5D -  E =  26

4C = -8

C = -8 / 4

C = -2

Sustituyo en Ec(1) y Ec(2), para obtener ecuaciones 4 y 5:

(-2) + D + E = -2

D + E = -2 + 2

D + E = 0  ===> Ec(4)

3(-2) + 5D + E = -34

-6 + 5D + E = -34

5D + E = -34 + 6

5D +E = -28  ===> Ec(5)

Restaré Ec(4) - Ec(5):

  D + E = 0

-5D - E = 28

-4D      = 28

D = 28 / (-4)

D = -7

Sustituyendo en Ec(4):

D + E = 0

(-7) + E = 0

E = 7

Con estos valores, encontramos la ecuación de la circunferencia en su forma general:

$x^2+y^2+Cx+Dy+E=0$

$x^2+y^2-2x-7y+7=0$   ====> Ecuación General

Para encontrar la forma ordinaria, es necesario agrupar los términos con $x$ y los términos con $y$, y el término independiente pasarlo al otro lado de la igualdad.

$x^2-2x+y^2-7y=-7$

Ahora completamos trinomios cuadrados perfectos para cada incógnita:

$(x^2-2x+1)+(y^2-7y+\frac{49}{4} )=-7+1+\frac{49}{4}$

$(x-1)^2+(y-\frac{7}{2})^2=\frac{25}{4}$   ===> Ecuación Ordinaria

Con esta información obtenemos los valores del centro y radio de la circunferencia, recordando que la ecuación ordinaria es:

$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$

donde $(h,k)$ son las coordenadas del centro de la circunferencia y $r$ es el radio de la misma.

Entonces:

$(h,k) = (1,\frac{7}{2} )$

$r=\sqrt{\frac{25}{4} }$

$r=\frac{5}{2}$

La gráfica se adjunta en la siguiente imágen.