Question

Una tabla de área de 2 m2 y 2 de cm de espesor se usa como una barrera entre un cuarto a 20º C y una región a 50º C. Calcular el número de clavos de acero de 2 cm de longitud y 4 mm de diámetro que se deben clavar sobre la tabla para que el flujo de calor a través de la tabla se duplique.

Answer 1

Respuesta:

hola cómo están ustedes

Answer 2

Respuesta:

Aproximadamente 160 clavos.

Explicación:

Para obtener el número de clavos primero se considera el calor para la pared de pura madera:

$q_0 = Ak_m \frac{T_c-T_f}{L}$

Cuando empiezas a introducir clavos estás generando una transferencia en medios distintos, es como un circuito en paralelo, por lo que la suma de las resistencias será equivalente a:

$R_{TOT} = L \left(( A-nA_{clavo})k_m + nA_{clavo}k_{a}\right)^{-1}$

Es decir, el área total de la madera menos el área que ocupan los clavos seguirá trabajando con el coeficiente de la madera (0.08 W/mK), mientras que el área de los clavos utilizará el coeficiente del acero (80 W/mK).

Calcular el área del clavo es simple:

$A_{clavo} = \pi \times (2\times 10^{-3})^2 = 4\pi\times10^{-6}$

Ahora, como queremos que el calor sea el doble que en la configuración original:

$2q_0 = \frac{T_c-T_f}{R_{TOT}} \longrightarrow 2Ak_m\frac{T_c-T_f}{L}= \frac{T_c-T_f}{L}((A-nA_{clavo})k_m+nA_{clavo}k_a)$

Simplificando queda como:

$2Ak_m = Ak_m + nA_{clavo}(k_a-k_m)$

De ahí se despeja la n, que es el número de clavos:

$n = \frac{Ak_m}{A_{clavo}(k_a-k_m)} = \frac{2m^2\times 0.08 W/mK}{4\pi\times10^-6m^2(80 W/mK -0.08 W/mK)} \approx 159.31$

Al poner n = 159 se tiene un q = 479.52 W, y al tener n = 160 se obtienen q = 481.03 W. La manera de superar el doble es, por tanto, con 160 clavos.