Question

 calcular el volumen del solido que se encuentra limitado por el paraboide Z=x al cuadrado + y al cuadrado y el plano=4 ( sugerencia .use cordenadas cilindrica) con su prpocedimiemnto por favor

Answer 1

Calcular el volumen del solido que limitado por el paraboloide: $z= x^{2} +y^{2}$
 y el plano: z = 4
Usando coordenas cilindricas tenemos: 
$x=rcos \alpha$ ; $y=rsen \alpha$ ; $z=z$
Luego:
            $z= x^{2} +y^{2}$
            $4= (rcos \alpha)^{2} +(rsen \alpha)^{2}$
            $4= r^{2}$
            $r= 2$

Luego :  r ∈ [0; 2] y $\alpha$ ∈ $[0; 2 \pi ]$  ...(Ver el gráfico, Fig 2)

Del gráfico( Fig.1) :   $x^{2} +y^{2} \leq z \leq 4$
                               $r^{2} \leq z \leq 4$

Ademas se sabe que el Jacobiano de las Coor. Cilindricas es: r

Entonces: $V= \int\limits^{2 \pi }_0 { \int\limits^2_0 { \int\limits^4_{r^{2}} {r} \, dz } \, dr } \, d \alpha$

Resolviendo las integral Triple:
$V= \int\limits^{2 \pi }_0 { \int\limits^2_0 { \int\limits^4_{r^{2}} {r} \, dz } \, dr } \, d \alpha$

$= \int\limits^{2 \pi }_0 { \int\limits^2_0 {r(4-r^{2})} \, dr } \, d \alpha$

$= \int\limits^{2 \pi }_0 { \int\limits^2_0 {(4r-r^{3})} \, dr } \, d \alpha$

$= \int\limits^{2 \pi }_0 {{(2r^{2}- \frac{r^{4}}{4})|^{2}_{0}} \, d \alpha$

$= \int\limits^{2 \pi }_0 {(2(2)^{2}- \frac{(2)^{4}}{4})} \, d \alpha$

$= \int\limits^{2 \pi }_0 {4} \, d \alpha$

$= 4( \alpha )|^{2 \pi }_{0}$

$= 4( 2 \pi -0)$

$= 8 \pi$

Por tanto el Volumen del solido limitado por el Paraboloide: $z= x^{2} +y^{2}$ y el plano: z=4, es:
                             $V= 8 \pi$