Question

Calcular con cambio de variable la integral
$\int\limits^1_0 {(1-x)^3} \, dx$

Answer 1

Cambio de variable se aplica a integrales donde las funciones a integrar puede escribirse como: (fog)g'.

Es decir, una función f compuesta por otra función g, multiplicada por la derivada primera de la función g.

Sea:
f(x) = x³ 
g(x) = 1 - x

Por lo tanto f[g(x)] = (fog)(x) = (1 - x)³
g'(x) = -1

Por lo tanto, a la función a integrar es posible aplicar cambio de variable, de manera de facilitar el calculo de la integral.

Sea la nueva variable u = 1 - x.
Por lo tanto du = -1

Otra de las cosas a modificar es el intervalo de integración.
Para la variable x, el intervalo es [0,1]
Para la variable u, el intervalo es [1-0,1-1]=[1,0]

Multiplicando por -1 para que aparezca la derivada primera de g:

$\int\limits^1_0 { (1-x)^{3}} \, dx = -\int\limits^1_0 {- (1-x)^{3}} \, dx$

Aplicando cambio de variable:

$-\int\limits^1_0 {- (1-x)^{3}} \, dx=-\int\limits^0_1 { u^{3}} \, du$

Aplicando regla de Barrow:

$-\int\limits^0_1 { u^{3}} \, du = -(\frac{(0)^{4}}{4}-\frac{(1)^{4}}{4}) = \frac{1}{4}$

Cualquier duda con respecto al procedimiento decime que te lo vuelvo a explicar.