Respuestas
Una igualdad, (=), es una relación de equivalencia[1] entre dos expresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, alguno o todos los valores. Cada una de las expresiones recibe el nombre de miembro.
IGUALDAD
una expresión = otra expresión
primer miembro segundo miembro
· Si la igualdad se cumple entre números se denomina identidad numérica.
Ejemplo 1: 2 +4 +5 = 1 +10
· Una identidad literal es una igualdad que se cumple para todos los valores.
Ejemplo 2: Las Identidades Notables
Cuadrado de una suma
Cuadrado de una diferencia
Diferencia de cuadrados
· Cuando la igualdad se convierte en identidad numérica sólo para determinados valores se la llama ecuación. A las letras se les llama indeterminadas o incógnitas.
Ejemplo 3: a) 3x+2 =0 es una ecuación con una incógnita.; b)3x +2y =1 es una ecuación con dos incógnitas.
Al valor, o valores, que convierten la ecuación en identidad numérica se les llama solución (o raíz) de la misma.
Ejemplo 4. Una solución de la ecuación del ejemplo 3 es x =-2/3 .
Ejercicio 1. Encuentra 2 soluciones de la ecuación 3x-2y-1=0
Resolver una ecuación en encontrar todas su soluciones o llegar a la conclusión de que no tiene ninguna.
Ejemplo 5. a) x2-1=0 tiene dos soluciones, x =1 y x =-1
b) x2 + 1=0 es una ecuación sin soluciones en R.
c) 2x +3y = 0 tiene infinitas soluciones, (0,0), (-3,2), (3, -2)....
Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten la mismas soluciones. Se cumple:
Si se suma o resta un mismo número a los dos miembros de una ecuación, se obtiene una ecuación equivalente a la primera.
Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero se obtiene una ecuación equivalente a la primera.
Trasposición de términos. Aplicando las reglas anteriores deducimos dos reglas prácticas:
Si un número aparece en un miembro sumando, se le puede pasar al otro miembro restando. Si esta restando pasará sumando.
De igual manera si está multiplicando pasa dividiendo y al revés.
Esto se llama trasponer términos.
Ejemplo 6: La ecuación 5x - 1 = 2x -3 se puede escribir 3x + 2 = 0, trasponiendo términos.
Nota : El segundo miembro de la ecuación se puede considerar siempre que es 0.
Ecuaciones de primer grado
La forma general de esta ecuación es a x +b =0 con a0
Trasponiendo y dividiendo por a se llega a .
Solución que siempre existe y es única.
Ejemplo 7. a) 3x +2 =0 Þ
b) 7x + 2 = 2x -3 , si trasponemos términos, nos queda 7x –2x = -2 –3
Luego 5x = -5 de donde x = -1
Ecuaciones de segundo grado
La forma general de una ecuación de 2º grado es: , donde a
La solución de esta ecuación general viene dada por la fórmula:
Ejemplo 8.
=
Observación. A D = se llama discriminante de la ecuación de 2º y se verifica:
Si D>0 la ecuación tiene dos soluciones conjugadas
Si D =0 la ecuación tiene una única solución (doble)
Si D <0 la ecuación no tiene ninguna solución real.
Ecuaciones incompletas
Si c =0 la ecuación se reduce a y sacando factor común x se tiene:
x(ax +b) =0
Este tipo de ecuación siempre tiene dos soluciones.
Ejemplo 9. 3x2-5x=0 x(3x-5)=0
Si b =0 la ecuación queda de donde
Puede tener dos soluciones opuestas o ninguna solución, dependiendo de que
El radicando sea o no positivo.
Ejemplo 10. 2 x2-=0; 2 x2=Þ (dos soluciones)
Ejemplo 11. 3x2+1 =0 (no tiene ninguna solución)
Resolución “práctica” de una ecuación
Lo estudiamos con un ejemplo
Ejemplo 12.
Para resolver la ecuación seguiremos el siguiente orden.
1º Quitar denominadores
Al multiplicar los dos miembros de una ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores, se obtiene otra ecuación equivalente a la primera, pero sin denominadores.
Multiplicamos los dos miembros de la igualdad por 6, que es el m.c.m. de los denominadores.
Nos queda 3(2x-3) -2(5x-1) =6
2º Quitar paréntesis
Se efectuarán las operaciones indicadas, utilizando la propiedad distributiva.
Quitando paréntesis 6x-9 –10x+2=6
3º Trasnposición de términos
Se disponen todos los términos que llevan x en un miembro y los demás en el otro.
Trasponiendo términos 6x –10x = 9 - 2 + 6
4º Reducción de términos semejantes
De este modo cada miembro de la ecuación queda con un solo término:
-4x = 13
5º. Despejar la incógnita
Se dividirá ambos miembros por el coeficiente de la incógnita (se puede hacer siempre que sea a0)
Observación. Dependiendo de la ecuación a resolver puede ocurrir que alguno de los pasos sea innecesario, se omite y se pasa al siguiente.
Ecuaciones de primer grado
Resuelve
1)
2)
3)
4)
5)
7)
8)
9)
Solución.
Multiplicamos los dos miembros por 8 (es el m.c.m. de los denominadores)
(2x-4)2 = 40 +4x(x +1)
4x2 –16x +16 = 40 + 4x2 +4x
4x2 –16x +16 =40 +4x2 +4x
Reduciendo términos semejantes:
... 16x-4x= 40- 16 -20x =24 = -1,2
Respuesta:
√ × ÷
Explicación paso a paso: