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Respuesta:
Para los siguientes teoremas recordemos que a es una raíz del polinomio P(x) si se cumple que P(a) = 0.
Teorema del Resto
Teorema: El resto o residuo de la división de un polinomio P(x) por un polinomio de la forma x - a es igual que el resultado de evaluar el polinomio P(x) en a.
Por ejemplo, dividamos P(x) = x^4 - 3x^2 + 2 entre x - 3 utilizando la regla de Ruffini:
\displaystyle \begin{array}{c|ccccc} & 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & 9 & 18 & 54\\\hline& 1 & 3 & 6 & 18 & \vline 56\end{array}
Así, el cociente de la división es x^3 + 3x^2 + 6x + 18, mientras que el residuo es 56. Por otro lado, si evaluamos P(x) en 3, obtenemos:
\displaystyle P(3) = 3^4 - 3(3)^2 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
Nota: Observemos que si P(a) = 0, entonces significa que el residuo es 0. En otras palabras:
\displaystyle \frac{P(x)}{x - a} = Q(x) + 0 = Q(x)
Si multiplicamos ambos lados por x - a tenemos que
\displaystyle P(x) = (x - a)Q(x)
Por lo tanto, x - a es un factor de P(x). Este resultado se conoce como el teorema del factor.
Teorema del factor
Teorema: El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma x - a si y sólo si P(a) = 0.
Como ejemplo, consideremos el polinomio P(x) = x^2 - 5x + 6. Notemos que
\displaystyle P(2) = 2^2 - 5(2) + 6 = 0, \qquad P(3) = 3^2 - 5(2) + 6 = 0
por lo tanto, P(x) = x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Además, x = 2 y x = 3 son raíces de P(x).
Nota: Si P(x) es un polinomio de grado n y se divide por x - a, entonces el resultado tiene la forma:
\displaystyle P(x) = (x - a)Q(x) + r
donde r es constante y se conoce como residuo, mientras que Q(x) es un polinomio de grado n - 1.