Un niño toma el extremo libre de una cuerda que se encuentra atada en su otro extremo a un árbol. El niño se ubica a la izquierda del árbol, tensa la cuerda y mueve el extremo hacia arriba y hacia abajo senoidalmente con una frecuencia de 5 Hz y una amplitud de 0.08 m. La rapidez de la onda generada es v=15 m/s y en el instante t=0 el extremo que el niño sujeta tiene un desplazamiento de -0,04 m. Hallar la velocidad de un punto a 2 m del extremo sujetado por el niño en t=3.05 s.
Respuestas
La ecuación de la onda es:
y(x, t) = A sen(k x - ω t + Ф), si se desplaza en el sentido positivo del eje x.
A = amplitud = 0,08 m
k = número de onda = 2 π / L, siendo L la longitud de onda.
Para todas las ondas es V = L f
L = 15 m/s / 5 Hz = 3 m
k = 2 π / 3 rad/m
ω = frecuencia angular = 2 π f = 2 π . 5 Hz = 10 π rad/s
Ф = fase inicial, a determinar.
Corresponde para t = 0, x = 0
- 0,04 m = 0,08 m sen(Ф)
sen(Ф) = - 1/2; Ф = - π / 6 rad
La función de la onda es: (omito las unidades)
y(x, t) = 0,08 sen(2 π /3 . x - 10 π . t - π / 6)
La velocidad de vibración es la derivada de y respecto del tiempo.
V(x, t) = 0,08 . (- 10 π) cos(2 π / 3 . x - 10 π . t - π / 6)
Para x = 2, t = 3,05:
Calculadora en modo radianes.
V(x, t) = 0,08 . (- 10 π) cos(2 π / 3 . 2 - 10 π . 3,05 - π / 6)
V(x, t) = - 0,8 π (- 0,5) ≅ 1,257 m/s
Saludos.