Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón de 20x10cm. Para ello, se corta un cuadrado de lado L, en cada esquina y se dobla la hoja levantando los cuatro laterales de la caja. Determinar las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo.
Respuestas
Respuesta:
Explicación:
Si \(a\) es el ancho de la caja, \(h\) es su altura y \(p\) es su profundidad, entonces su volumen es
problemas de optimización para bachiller: aplicación del cálculo diferencial: criterio de la primera derivada. Máximos, mínimos y monotonía
Al cortar los cuatro cuadrados de lado \(L\), el ancho de la caja es
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La profundidad es
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Por último, la altura coincide con el lado del cuadrado recortado:
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Luego el volumen de la caja en función de \(L\) es (paso 1)
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Derivamos la función volumen (paso 2):
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Igualamos a 0 la derivada y resolvemos la ecuación para encontrar los puntos críticos (paso 3):
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Situamos los puntos en la recta real y estudiamos los signos en los intervalos (paso 4):
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Escogemos los puntos \(x=1\) del primer intervalo, \(x =3\) del segundo intervalo y \(x=8\) del tercero:
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Luego la función es creciente en el primer intervalo, decreciente en el segundo y creciente en el tercero:
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Pero el lado \(L\) debe medir entre 2 y 3, es decir, debe ser
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Como en el intervalo \([2.11, 3]\) la función es decreciente, el volumen será máximo para \(L=2.11cm\).
Por tanto, las dimensiones de la caja deben ser
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Es decir, las dimensiones son 15.78 x 5.78 x 2.11 cm y su volumen es \(192.45 cm^2\).
espero te ayude :D
