Question

Se desea construir un arco parabólico de metal para que sea el símbolo de una
localidad de Oaxaca, en su diseño se contempla una altura de 10 metros y un
claro de 24 metros. Determine:
a) La ecuación cartesiana u ordinaria de la parábola considerando que el
vértice se encuentra sobre el eje y.
b) La ecuación de la parábola en su forma general.
c) Las coordenadas del foco.
Ayuda porfavor...​

Answer 1

Dado que el arco de metal tiene 24 metros de abertura sobre el suelo y 10 metros de altura, significa que la parábola tiene su vértice a 10 metros sobre el eje  y,  tiene sentido de abertura negativo (hacia abajo), el origen está en el punto medio de la abertura y, por tanto, la parábola pasa por los puntos:  (-12, 0)  y  (12, 0)

Explicación paso a paso:

Aplicaremos la ecuación cartesiana de una Parábola de eje vertical:  

(x  -  h)²  =  ±4p(y  -  k)

donde  

(h, k)      son las coordenadas del vértice.

p     es la distancia, sobre el eje, desde el vértice al foco y a la directriz.

a) La ecuación cartesiana u ordinaria de la parábola considerando que el

vértice se encuentra sobre el eje y.

Consideramos el origen de coordenadas en el suelo y el eje  x  coincidiendo con la superficie de este.

Dado que el arco de metal tiene 24 metros de abertura sobre el suelo y 15 metros de altura, significa que la parábola tiene su vértice a 10 metros sobre el eje  y,  tiene sentido de abertura negativo (hacia abajo), el origen está en el punto medio de la abertura y, por tanto, la parábola pasa por los puntos:  (-12, 0)  y  (12, 0)

Parábola de eje vertical con:    h  =  0         k  =  10           pasa por    x  =  12    y  =  0

Ecuación:    (12  -  (0))²  =  -4p(0  -  (10))         ⇒         p  =  18/5

Entonces, la ecuación cartesiana de la parábola es:

(x  -  0)²  =  -4(18/5)(y  -  10)         ⇒         x²  =  (72/5)(y  -  10)

b) La ecuación de la parábola en su forma general.

La ecuación general se obtiene por el desarrollo de los productos en la ecuación cartesiana e igualación a cero:

x²  =  (72/5)(y  -  10)          ⇒          5x²  =  72y  -  720         ⇒        

Ecuación general:         5x²  -  72y  +  720  =  0  

c) Las coordenadas del foco.

La distancia del vértice al foco es    p  =  18/5    metros  medidos sobre el eje de la parábola. Este eje coincide con el eje  y;  así  que el foco tiene coordenadas:

Foco  =    (0, (10  -  18/5))  =    (0, 32/5)