Question

un ranchero quiere cercar un corral rectangular a lo largo de una corriente de agua rectilinea. Si la longitud de cerca disponible es de 3000 pies, halla el valor maximo de la funcion del area. ¿Caules son las dimensiones del area maxima del corral?
doy 15 puntos pero porfaaaaa

Answer 1

Si sabemos que es un rectangulo podemos utilizar las ecuaciones de área y perímetro.

Ahora

h=altura
b=base
Amax= Área máxima
P=Perímetro

1) Amax = b*h

2) P = 2b+2h

Si tomo la segunda ecuación y determino según el problema que tengo disponible 3000 pies de cerca disponible.

P=3000 pies

3000 = 2b+2h

de esto puedo despejar cualquiera de las dos incognitas en mi caso despejare b

3000 = 2(b+h)
1500=b+h
b = 1500 - h 

esto puedo reemplazar en la primera ecuación

Amax= b*h
Amax= (1500 - h)*h
Amax= 1500h - h²

Ahora debemos analizar la ecuación y determinar el conjunto de valores válidos para la variable "h" o tambien denominado dominio.

Para asegurar que exista un máximo y un mínimo debe ser un conjunto cerrado.

Dominio de h [?,?]

Analizamos la ecuación y el problema a la vez:

"h" no puede ser número negativo: porque no existen distancias negativas
h≥0   ----->este es el mínimo

"h" no puede ser mayor a 1500: porque resultaría en un área negativa y no existe áreas negativas.

h≤1500 -----> este es el máximo

Entonces:

Dominio de h [0,1500]

Ahora analizamos el área máxima, para ello derivamos la ecuación que obtuvimos del área:

Amax= 1500h - h²
Amax' = 1500 - 2h ----> esto igualamos a 0

1500 - 2h =0      -----> despejamos h
h=1500/2 = 750 -----> punto crítico

h=750 ahora hay que determinar si es un maximo o un minimo segun los criterios de la segunda derivada.

Para ello derivamos nuevamente:

Amax' = 1500 - 2h
Amax'' = - 2  como es negativo esto nos indica que pertenece a un máximo

Es decir que h=750 debe darme el máximo de la función; que es lo que estamos buscando.

Pues bien solo reemplazamos en la ecuación del área máxima:

Amax= (1500 - h)*h
Amax= (1500 - 750)*750
Amax= 562500 pie²    este es el área máxima que podemos cubrir con 3000 pies de cerca.

Answer 2

Las dimensiones del área del corral son iguales a 5625 pies²

El área máxima de un rectángulo se logra cuando las dimensiones de las mismas son iguales, por lo tanto, es un cuadrado, luego como contamos con 300 pies, para cercar el corral, tenemos que el perímetro de corral debe ser 300 pies, el perímetro de un cuadrado es igual a 4 veces su lado, entonces:

4l = 300 pies

l = 300 pies/4

l = 75 pies

El área máxima se logra como

l² = (75 pies)² = 5625 pies²

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