Question

desarrolla el binomio al cubo: (x-6)^3. Me ayudarían poniendo el procedimiento por favor.

Answer 1

(x−6)^3

=(x−6)*(x−6)*(x−6)

=(x+ −6)(x2+ −12x+36)

=(x)(x2)+(x)(−12x)+(x)(36)+(−6)(x^2)+(−6)(−12x)+(−6)(36)

=x^3−12x^2+36x−6x^2+72x−216

=x^3−18x^2+108x−216

Espero poder ayudado.

Answer 2

El desarrollo del binomio al cubo proporcionado es:

$\bold{(x~-~6)^3~=~x^3~-~18x^{2}~+~108x~-~216}$

Explicación paso a paso:

Para resolver la potencia de un binomio usaremos la definición del Binomio de Newton:

$\bold{(p~+~q)^k~=~\Sigma_{i~=~0}^k~(\begin{array}{c}k\\i\end{array})\cdot p^{(k~-~i)}\cdot q^i}$

Donde:

$\bold{kCi~=~(\begin{array}{c}k\\i\end{array})~=~\dfrac{k!}{(k~-~i)!~i!}}$

es el número combinatorio con

k   es la potencia del binomio

i    es el contador de los  k  +  1  términos del desarrollo del binomio  (i  =  0, 1, 2, …, k)

En el caso estudio, se quiere el desarrollo del binomio al cubo:

$\bold{(p+q)^3=(\begin{array}{c}3\\0\end{array})p^{(3-0)}q^0+(\begin{array}{c}3\\1\end{array})p^{(3-1)}q^1+(\begin{array}{c}3\\2\end{array})p^{(3-2)}q^2+(\begin{array}{c}3\\3\end{array})p^{(3-3)}q^3}$

$\bold{(p~+~q)^3~=~(\begin{array}{c}3\\0\end{array})\cdot p^{3}~+~(\begin{array}{c}3\\1\end{array})\cdot p^{2}\cdot q~+~(\begin{array}{c}3\\2\end{array})\cdot p\cdot q^2~+~(\begin{array}{c}3\\3\end{array})\cdot q^3}$

Los resultados de los números combinatorios, a potencias bajas, se pueden obtener del llamado triángulo de Pascal (figura anexa) donde cada línea corresponde a los coeficientes del desarrollo; así que el desarrollo del binomio al cubo queda:

$\bold{(p~+~q)^3~=~(1)\cdot p^{3}~+~(3)\cdot p^{2}\cdot q~+~(3)\cdot p\cdot q^2~+~(1)\cdot q^3}$

En el caso estudio el binomio es una diferencia, esto implica que el término  q  es negativo y, por tanto, el término del desarrollo con exponente de  q  par es positivo y el término del desarrollo con exponente de  q  impar es negativo. Por tanto, el desarrollo es:

$\bold{(p~-~q)^3~=~p^{3}~-~3\cdot p^{2}\cdot q~+~3\cdot p\cdot q^2~-~q^3}$

Finalmente, aplicamos esta expresión al desarrollo del binomio dado con        p  =  x           y             q  =  6

$\bold{(x~-~6)^3~=~(x)^{3}~-~3\cdot(x)^{2}\cdot(6)~+~3\cdot(x)\cdot(6)^2~-~(6)^3\qquad\Rightarrow}$

El desarrollo del binomio al cubo proporcionado es:

$\bold{(x~-~6)^3~=~x^3~-~18x^{2}~+~108x~-~216}$

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