Question

Determine la función lineal, Dominio, Rango y su gráfica de acuerdo a los siguientes datos:
a.) Pasa por los puntos: (1.2) y (-2.4) b.) Pasa por el punto (1.7) y su m=-3 .
c.) y=-2x+1 ; para x E(-3.2) d.) y=2-3/2x xE(- ∞.6)

Answer 1

De las funciones lineales dadas tenemos que:

• a) La función lineal es igual a y = -2/3x + 8/3 , Dom = Rgo = R, la grafica en la primera imagen adjunta en azul

• b) La función lineal es igual a y = -3x + 10 , Dom = Rgo = R, la grafica en la primera segunda adjunta en verde

• c) La función lineal es igual a y = -2x + 1 , Dom = x ∈ (-3,2),  Rgo = y ∈ (-3,7), la grafica en la tercera imagen adjunta en rojo

• d) La función lineal es igual a y = 2 - 3/2x , Dom = x ∈ (-∞,6), Rgo =  y ∈ (-7,∞), la grafica en la cuarta imagen adjunta en rosado

Una función lineal: es una función cuya gráfica es una linea recta y tiene la forma f(x) = mx + b, donde "m" es la pendiente de la recta

La ecuación de una recta: que pasa por el punto (x1, y1) y tiene pendiente "m" es igual a:

y - y1 = m*(x - x1)

La pendiente de una recta que pasa por los puntos (x1,y1) y (x2,y2) esta dada por:

m = (y2 - y1)/(x2- x1)

El dominio de una recta a  menos que este restringido es los reales (R), el rango de una recta a menos que este restrigido es los reales (R)

a) Pasa por los puntos (1,2) y (-2,4): la pendiente es:

m = (4-2)/(-2-1) = -2/3

La ecuación es

y - 4 = -2/3*(x-(-2))

y - 4 = -2/3x - 4/3

y = -2/3x -4/3 + 4

y = -2/3x + 8/3

Dominio = Rango = R

La gráfica se observa en la primera imagen adjunta en color azul

b) pasa por el punto (1,7) y su m=-3 .

La ecuación es

y - 7 = -3*(x-1)

y = -3x + 3 + 7

y = -3x + 10

Dominio = Rango = R

La gráfica se observa en la segunda imagen adjunta en color verde

c) y = -2x + 1; para x ∈ (-3,2)

Ya tenemos la función lineal ahora nos falta el dominio y rango  

Dominio: x esta restringido a x ∈ (-3,2), entonces el dominio sera: x ∈ (-3,2)

Rango: como es una función lineal evaluamos en los extremos y este sera el rango.

Si x = -3:

y = -2*(-3) + 1 = 6 + 1 = 7

Si x = 2:

y = -2*(2) + 1 = -4 + 1 = -3

Rango: y ∈ (-3,7)

La grafica se observa en la tercera imagen adjunta en rojo

d) y=2-3/2*x  y x ∈ (- ∞,6)

Ya tenemos la función lineal ahora nos falta el dominio y rango  

Dominio: x esta restringido a x ∈ (-∞,6), entonces el dominio sera: x ∈ (-∞,6)

Rango: como es una función lineal evaluamos en los extremos y este sera el rango.

Si x tiene a -∞:

y tiene a 2-3/2*(-∞)= 2 + ∞ =  ∞

Si x = 6:

y = 2-3/2*(6)  =  2 - 9 = -7

Rango: y ∈ (-7,∞)

LA grafica se observa en la cuarta imagen adjunta en rosado

Answer 2

Determinando cada función lineal, su dominio y su rango, tenemos:

Pasa por los puntos: (1.2) y (-2.4)

• Ecuación:  y = -(2/3)x + 8/3
• Dominio: R
• Rango: R

Pasa por el punto (1.7) y su m=-3

• Ecuación: y = -3x+10
• Dominio R y Rango R

y=-2x+1 ; para x ∈(-3.2)

• Ecuación: y = -2x+1
• Dominio: (-3, 2)
• Rango: (7, -3)

y=2-(3/2)x para x∈(- ∞.6)

• Función lineal: y = 2-(3/2)x
• Dominio: (-∞,6)
• Rango (-∞, -7)

1) Recta que pasa por los puntos (1, 2) y (-2, 4)

Recordemos que la ecuación explicita de la recta es y=mx+b donde m representa la pendiente y b es el término independiente o punto de corte con el eje y.

• Pendiente:

Usando la fórmula de la pendiente de la recta:

m = ( y-y₁ ) / ( x-x₁ )

Si (1, 2) = (x, y) y (-2, 4) = (x₁, y₁) entonces podemos sustituir en la fórmula de la pendiente de la recta:

$m=\frac{2-4}{1-(-2)}=\frac{-2}{1+2} =-\frac{2}{3}$

Así, la pendiente es -2/3

• Término independiente

Sustituyendo la pendiente en la ecuación:

y = (-2/3)x + b

Para el punto (1,2)

2= (-2/3)(1) + b

2+2/3 = b

b=8/3

La ecuación implícita de la recta es y = -(2/3)x + 8/3

• El dominio y rango

Dominio: R. Su dominio son todos los reales debido a que la función existe para todos los valores de x.

Rango: R. Su rango son todos los reales debido a que para cada altura y existe un valor en x que le corresponde.

2) Recta que pasa por el punto (1, 7) y su pendiente es -3

Como la pendiente de la recta ya la tenemos entonces:

• Término independiente

y = -3x + b

Para el punto (1, 7)

7= -3(1)+b

7+3 = b

b = 10

La ecuación implícita de la recta es y = -3x+10

• Dominio y rango: como es una función lineal, entonces su dominio es R y su rango es R.

3 )Recta y=-2x+1 ; para x ∈(-3.2)

• La ecuación de la recta ya está dada y es y=-2x+1

• Dominio

Como el dominio son los valores de c para los cuál existe la función, entonces el dominio es (-3,2)

• Rango

El rango son las imágenes o alturas de los x que están en el dominio, como el dominio es (-3,2) para saber cuál es el rango basta con evaluar la función en los extremos.

Para x = -3

y= -2(-3)+1

y= 6+1

y=7

Para x=2

y= -2(2)+1

y= -4+1

y= -3

Así el rango es (7, -3)

4) y=2-(3/2)x para x∈(- ∞.6)

• La ecuación de la recta ya está dada y es y=2 - (3/2)x

• Dominio

Como el dominio son los valores de c para los cuál existe la función, entonces el dominio es (-∞, 6)

• Rango

El rango son las imágenes o alturas de los x que están en el dominio, como el dominio es (-∞, 6) para saber cuál es el rango basta con evaluar la función en el extremo 6.

Para x = 6

y= 2 - (3/2)(6)

y = 2 - 18 / 2

y = 2-9

y= -7

Así el rango es (-∞, -7)

¿Qué es el dominio de una función?

El dominio son todos los valores para los cuales la función está definida. O sea, son los valores que puede tomar la variable x.

¿Qué es el rango?

El rango es el intervalo que involucra todas las alturas o imágenes de una función. En otras palabras, representa en intervalo donde la función existe respecto al eje Y.

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