Question

Para acceder a una cabaña ubicada en una montaña se colocó una rampa de 250m con un ángulo de elevación de 30º. Si el ángulo de elevación varía en 10º se observa la parte más alta de la cabaña. Determinar la altura de la cabaña.

Answer 1

La altura de la cabaña es de aproximadamente 56,67 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde uno de los triángulos es un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Pudiendo definir las proporciones de sus lados.  

Se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción

Y esa letra k es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Mencionaremos el que se relaciona con el problema  

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 30-60 (por sus ángulos)

• Este triángulo tiene un ángulo de 30° y otro de 60°, donde el lado opuesto al ángulo de 30° medirá 1k y el lado opuesto al ángulo de 60° medirá k√3 y la hipotenusa medirá 2k (o el doble de lo que mida el primer lado)

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos ABC y ABD, en donde para ambos triángulos el lado BC es el mismo y equivale a la base de la rampa.

Siendo para el triángulo ABC el lado AC la longitud de la rampa, y a la vez el ángulo de elevación de 30° de esta. Donde por esta rampa se accede a la cabaña, y el lado AB es la altura medida desde el plano horizontal verticalmente hasta donde se asienta la base de la cabaña. Desconocemos esa magnitud y la llamaremos "altura y"

Para el triángulo ABD el lado AD representa la proyección visual hasta parte más alta de la cabaña con un ángulo de elevación de 40°, dado que se aumenta en 10° el primer ángulo, y  el lado AD está conformado por la sumatoria de la "altura y" y la "altura x", siendo esta última la altura de la cabaña -desde su base hasta su cima- Y que es nuestra incógnita

Solución

Hallamos la longitud de la base de la rampa

Conocemos

• Longitud de la rampa = 250 m

• Ángulo de elevación = 30°

• Debemos hallar la medida de la base de la rampa

Relacionamos estos datos con el coseno del ángulo

Como tenemos un ángulo notable

$\boxed{\bold { cos(30)\° =\frac{ \sqrt{3} }{2} }}$

$\boxed{\bold { cos(30)\° = \frac{ cateto\ adyacente }{ hipotenusa } }}$

$\boxed{\bold { cos(30)\° = \frac{ base\ rampa }{ longitud \ rampa } }}$

$\boxed{\bold { base\ rampa = longitud \ rampa \ . \ cos(30)\° }}$

$\boxed{\bold { base\ rampa = 250 \ metros \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{2} }}$

$\large\boxed{\bold { base\ rampa = 125 \sqrt{3} \ metros }}$

Hallamos la altura hasta la base de la cabaña (y)

Al tener un triángulo notable podemos decir que como la "altura y" es el cateto opuesto al ángulo notable de 30° medirá la mitad que lo que mida la hipotenusa, que es la longitud de la rampa, luego la "altura y" será de 125 metros

Los cálculos nos darán la razón

Conocemos la medida de la base de la rampa

Relacionamos estos datos con la tangente del ángulo

Como tenemos un ángulo notable

$\boxed{\bold { tan(30)\° = \frac{1 }{ \sqrt{3} } }}$

$\boxed{\bold { tan(30)\° = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(30)\° = \frac{ altura \ y }{ base \ rampa } } }$

$\boxed{\bold {altura \ y = base \ rampa \ . \ tan(30)\° } }$

$\boxed{\bold {altura \ y = 125 \sqrt{3} \ metros \ . \ \frac{1 }{ \sqrt{3} } } }$

$\large\boxed{\bold {altura \ y = 125 \ metros } }$

Hallamos la altura desde la base hasta el techo de la cabaña (x)

$\boxed{\bold { tan(40)\° = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(40)\° = \frac{ altura \ y \ + \ altura \ x }{ base \ rampa } } }$

$\boxed{\bold {altura \ y + altura \ x= base \ rampa \ . \ tan(40)\° } }$

$\boxed{\bold {altura \ y + altura \ x= 125\sqrt{3} \ metros \ . \ tan(40)\° } }$

$\boxed{\bold {125 \ metros+ altura \ x= 125\sqrt{3} \ metros \ . \ 0,8390996311772 } }$

$\boxed{\bold {125 \ metros+ altura \ x= 181,67039926641 \ metros } }$

$\boxed{\bold {altura \ x= 181,67039926641 \ metros - 125 \ metros } }$

$\boxed{\bold {altura \ x= 56,67039926641 \ metros } }$

$\large\boxed{\bold {altura \ x \approx 56,67 \ metros } }$    

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