Respuestas
Respuesta:
La velocidad de propagación de una onda en una cuerda ({\displaystyle v}v) es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión de la cuerda ({\displaystyle T}T) e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad lineal ({\displaystyle \mu }\mu) de la cuerda:
{\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }}.}{\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }}.}
Desarrollo
Ilustración de una cuerda vibrante.
Sea {\displaystyle \Delta x}\Delta x la longitud de un trozo de cuerda, {\displaystyle m}m su masa, y {\displaystyle \mu }\mu su densidad lineal. Si la componente horizontal de la tensión sobre la cuerda es constante, {\displaystyle T}T, entonces la tensión que actúa en cada extremo del trozo de cuerda se expresa como
{\displaystyle T_{1x}=T_{1}\cos(\alpha )\approx T.}{\displaystyle T_{1x}=T_{1}\cos(\alpha )\approx T.}
{\displaystyle T_{2x}=T_{2}\cos(\beta )\approx T.}{\displaystyle T_{2x}=T_{2}\cos(\beta )\approx T.}
Si ambos ángulos son pequeños, entonces las tensiones en cada extremo son iguales y la fuerza neta horizontal es nula. Aplicando la segunda Ley de Newton para la componente vertical, la masa de este trozo multiplicada por su aceleración, {\displaystyle a}a, será igual a la fuerza neta ejercida sobre el trozo de cuerda:
{\displaystyle \Sigma F_{y}=-T_{2y}-T_{1y}=-T_{2}\sin(\beta )-T_{1}\sin(\alpha )=\Delta ma\approx \mu \Delta x{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}{\displaystyle \Sigma F_{y}=-T_{2y}-T_{1y}=-T_{2}\sin(\beta )-T_{1}\sin(\alpha )=\Delta ma\approx \mu \Delta x{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}
Dividiendo esta expresión por {\displaystyle T}T y substituyendo la primera y la segunda ecuación resulta
{\displaystyle -{\frac {\mu \Delta x}{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}={\frac {T_{2}\sin(\beta )}{T_{2}\cos(\beta )}}+{\frac {T_{1}\sin(\alpha )}{T_{1}\cos(\alpha )}}=\tan(\beta )+\tan(\alpha )}{\displaystyle -{\frac {\mu \Delta x}{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}={\frac {T_{2}\sin(\beta )}{T_{2}\cos(\beta )}}+{\frac {T_{1}\sin(\alpha )}{T_{1}\cos(\alpha )}}=\tan(\beta )+\tan(\alpha )}
Las tangentes de los ángulos en los extremos del trozo de cuerda son iguales a las pendientes en los extremos, con un signo negativo adicional a causa de la definición de beta. Con este dato y reordenando se obtiene
{\displaystyle {\frac {1}{\Delta x}}\left(\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x+\Delta x}-\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x}\right)={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}}{\displaystyle {\frac {1}{\Delta x}}\left(\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x+\Delta x}-\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x}\right)={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}}
En el límite cuando {\displaystyle \Delta x}\Delta x tiende a cero, el lado izquierdo de la igualdad es la definición de la derivada segunda de {\displaystyle y}y:
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}
Esta es la ecuación de onda para {\displaystyle y(x,t)}{\displaystyle y(x,t)}, y el coeficiente de la derivada segunda en el tiempo es {\displaystyle v^{-2}}{\displaystyle v^{-2}}; por lo tanto
{\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }},}{\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }},}
donde {\displaystyle v}v es la velocidad de propagación de la onda en la cuerda. (véase el artículo sobre la ecuación de onda para mayores detalles). Sin embargo, este desarrollo es solo válido para vibraciones de amplitud pequeña; en el caso de amplitudes grandes, {\displaystyle \Delta x}\Delta x no es una buen aproximación de la longitud del trozo de cuerda, la componente horizontal de la tensión no es necesariamente constante, y no es correcto aproximar las tensiones horizontales con {\displaystyle T}T.
Frecuencia de la onda
Una vez que se conoce la velocidad de propagación, se puede calcular la frecuencia del sonido producido por la cuerda. La velocidad de propagación de la onda es igual a la longitud de onda {\displaystyle \lambda }\lambda dividida por el período {\displaystyle \tau }\tau , o multiplicada por la frecuencia {\displaystyle f}f :
{\displaystyle v={\frac {\lambda }{\tau }}=\lambda f.}{\displaystyle v={\frac {\lambda }{\tau }}=\lambda f.}
Si la longitud de la cuerda es {\displaystyle L}L, la armónica fundamental es la que se produce por la vibración cuyos nodos son los dos extremos de la cuerda, por lo cual {\displaystyle L}L es la mitad de la longitud de onda de la armónica fundamental. Por lo tanto se verifican las leyes de Mersenne:
Explicación:
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