Respuestas
Respuesta:
Existen algunos trinomios, en los cuales su primer y tercer
términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada
exacta), pero su segundo términos no es el doble producto de sus raíces cuadradas.
x2 + 2x + 9, no es un trinomio cuadrado perfecto.
Para que un trinomio de estos se convierta en un trinomio
cuadrado perfecto, se debe sumar y restar un mismo
número (semejante al segundo término) para que el
segundo término sea el doble producto de las raíces
cuadradas del primer y último término. A este proceso
se le denomina completar cuadrados.
Ejemplo: m4 + 6m2 + 25.
Para que m4 + 6m2 + 25, sea un trinomio cuadrado perfecto, el segundo término debe ser igual a 10m2. Por esto, se le debe sumar y restar al trinomio es 4m2 , pues 6m2 + 4m2 = 10m2
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción, se completan cuadrados y se factoriza la
expresión, primero como un trinomio cuadrado perfecto y
después, como una diferencia de cuadrados.
EJERCICIO RESUELTO
Factorizar x4 + 3x2 + 4
SOLUCIÓN
x4 + 3x2 + 4
Raíz cuadrada de x4 es x2
Raíz cuadrada de 4 es 2
Doble producto de la primera raíz por la segunda: 2(x2 )(2)
= 4x2
El trinomio x4 + 3x2 + 4 no es trinomio cuadrado perfecto, entonces:
x4 + 3x2 + 4
= x4 + 3x2 + 4
+ x2 - x2 Se suma y se resta x2
----------------------------------------
=(x4 + 4x2 + 4) - x2 Se asocia convenientemente
=(x2 + 2)2 - x2 Se factoriza el trinomio cuadrado
perfecto
=[(x2 + 2) - x] [(x2 + 2) - x] Se factoriza la diferencia de
cuadrados
=(x2 + 2 + x) (x2 + 2 - x) Se eliminan signos de agrupación
=(x2 + x+ 2) (x2 - x + 2) Se ordenan los términos de cada
factor.
Entonces: x4 + 3x2 + 4 = (x2 - x+ 2) (x2 - x + 2)