Question

Se desea elaborar una caja rectangular con un lado base y su respectiva tapa cuadrados, la caja tendrá un volumen de 2500 metros cúbicos (). Si el costo por el área del cuadrado de la base es de $2, por la tapa superior $3, y por el área de los lados $1. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja que minimizan el costo?

Identifica las variables involucradas en el problema: independientes y dependientes y sus relaciones de función.

De los datos del problema deduce su función de costo, obtén todos sus puntos críticos y optimiza la función.

Answer 1

El valor de las dimensiones de la caja rectangular que minimizan el costo son: x = 10 m : y = 25 m

Las dimensiones de la caja rectangular que minimizan el costo se calculan en base a la fórmula del volumen de la caja y los valores de costos de la base, caras laterales y tapa , como se muestra a continuación :

Volumen = 2500m3

Costo área del cuadrado de la base = $2  

Costo  por la tapa superior $3

Costo  por el área de los lados $1

dimensiones de la caja :  x=?   y =?  Costo mínimo  

lado de la base y tapa =x    variable independiente

altura de la caja = y    variable independiente

Costo de la caja = C(x)   variable dependiente

Volumen  V= Abase*altura = x²* y = 2500    ⇒y = 2500/x²

Costo:    C(x)  = 2*x²+ 3*x²+1*4*x*y = 5x²+4xy = 5x²+4*x*2500/x²

            C(x) = 5x² + 10000/x

  Se deriva y se iguala a cero :

      C'(x) = 10x- 10000/x²

      C'(x) =0

         10x- 10000/x²=0

        10x = 10000/x²

     de donde  : x = 10 m  

    y = 2500/(10)² = 25 m