Question

por favor ayudenme: Un modelo de la cantidad de bacterias en un cultivo, después de t horas, es P (t) = P0e^kt. Después de 3 horas, se observa que hay 400 bacterias. Luego de 10 horas desde el inicio, hay 2 000 bacterias. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias?

Answer 1

Esta bueno el ejercicio me recuerda la universidad.

P(t)=P0e^(kt)
P(3)=400
P(10)=2000
P0=?   K=?
400=P0*e^(k*3) 
Despejando
ln(400)=ln(P0*e^(3*k))
Aplicado propiedades logaritmos de la multiplicación
ln(400)=ln(P0)+ln(e^3k)
Luego aplico otra propiedad de la potencia
ln(400)=ln(P0)+3*k ; Ln(e)=1 no se vuelve a colocar.
Tengo mi primera ecuación.
2000=P0*e^(k*10)
Aplico lo mismo Para llegar a  
Despejando
ln(2000)=ln(P0*e^(10*k))
Aplicado propiedades logaritmos de la multiplicación
ln(2000)=ln(P0)+ln(e^10k)
Luego aplico otra propiedad de la potencia
ln(2000)=ln(P0)+10*k ; Ln(e)=1 no se vuelve a colocar.
Tengo mi segunda ecuación.

ln(400)=ln(P0)+3*k           (1)
ln(2000)=ln(P0)+10*k       (2)
Las variables son ln(P0) y K Despejando 
ln(400)-3k=ln(P0) despejo de la ecuación 1 
Para reemplazar en 2 
ln(2000)=ln(400)-3k+10k
ln(2000)-ln(400)=7k

ln(2000/400)=7k Aplico propiedad de la resta
ln(5)/7=k
0.23=k  valor aproximado

Reemplazo ese valor en 1
ln(400)=ln(P0)+3*(ln(5))/7   
ln(400)=ln(P0)+ln(5^(3/7))
Despejo
ln(400)-ln(5^(3/7))=ln(P0)
ln(400/(5^(3/7)))=ln(P0)
Como necesito es P0 aplico antilogaritmo
400/(5^(3/7))=P0
P0=200.67 Valor aproximado
P(t)=200.67*e^(0.23*t)
P(0)=200.67 Bacterias iniciales.