Question

Dada la Progresión Aritmética: 4, 12, 20, 28, ...
-Demuestre que la suma de n términos de la sucesión es un cuadrado perfecto.
-Determine r, si a(sub(r)) + a(sub(r+1)) = S(sub(16))

Answer 1

a1=4
d=8

A. Calculamos el término n:
an=a1+(n-1)*d
an=4+(n-1)*8
an=4+8n-8
an=8n-4

Sn=(a1+an)*n/2
Sn=(4+(8n-4))*n/2
Sn=8n*n/2
Sn=4*n^2
Sn=(2*n)^2

Queda demostrado que para cualquier valor que tome n, la suma será un cuadrado perfecto.

B. Calculamos S16:

S16=(2*16)^2
S16=1024

Entonces:
ar + a(r+1)=1024
Si la d=8
a(r+1)=ar+8

Luego, ar+(ar+8)=1024
2*ar=1016
ar=508

OJO: Cuando escribo a(r+1) no estoy multiplicando. Solo que no lo he escrito como tú a(sub(r+1)). Igual con ar.

Ahora en la ecuación:
an=a1+(n-1)*d
ar=a1+(r-1)*d
508=4+(r-1)*8
504=(r-1)*8
63=r-1
r=64
Listo!