Question

4. Deducir la ecuación de la hipérbola: (x^2/a^2 ) - (y^2/b^2) = 1

((x-c)^2 + y^2 )^1/2 - ((x+c)^2 + y^2)^1/2 = 2a
((x-c)^2 + y^2 )^1/2 - ((x+c)^2 + y^2)^1/2 = -2a

Answer 1

Hay una propiedad que dice 
$\textit{La diferencia de distancias desde cada uno de los focos a un punto fijo}\\\textit{pero arbitrario de la hip\'erbola, es }\textbf{constante}$

Es decir si tenemos una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje X, es más si el centro de la hipérbola está en el origen de coordenadas, entonces podemos afirmar lo siguiente, sea $P=(x,y)$ un punto arbitrario y fijo sobre la hipérbola, y los focos $F_1=(-c,0)$ y $F_2=(c,0)$ entonces tenemos

                             $d(P,F_1)-d(P,F_2)=2a$

Ahora iniciemos nuestro cálculo
 
           $\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a\\ \\ \sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a+\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\ \\ (x+c)^2+y^2=4a^2+4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2\\ \\ 2xc=4a^2+4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}-2xc\\ \\ xc=a^2+a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\ \\ xc-a^2=a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\ \\ (xc-a^2)^2=a^2[(x-c)^2+y^2]\\\\ (xc)^2-2a^2xc+a^4=a^2x^2-2a^2xc+(ac)^2+a^2y^2\\ \\ x^2(c^2-a^2)+a^4-a^2y^2=a^2c^2\\ \\ b^2x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)\\ \\ b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2\\ \\ \boxed{\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1}$