Situación 2 Enrique y su familia elaborarán tarjetas con mensajes amigables para repartirlas entre sus familiares y vecinos. Irán adornadas con cinta en tres lados, como muestra la figura, destinando 60 cm de cinta para cada tarjeta. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la tarjeta si se desea maximizar su área? ¿Cuál será el área máxima?
Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
La tarjeta debe tener 30 cm por 30 cm para tener el área máxima de 450 cm².
Explicación paso a paso:
Se desea conocer el valor de x para que el área sea máxima. Para ello se construye la función área (A) partiendo de las dimensiones del rectángulo que se observa en la figura anexa.
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es
A' = (60x - 2x²)' = 60 - 4x
A' = 0 ⇒ 60 - 4x = 0 ⇒ x = 15
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
A'' = (60 - 4x)' = -4
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
A''(15) = -4 < 0 ⇒ x = 15 es un máximo de la función
Cuarto, evaluamos la función en el valor máximo de x y obtenemos el valor máximo de A.
A(15) = 60(15) - 2(15)² = 900 - 450 = 450 cm²
La tarjeta debe tener 30 cm por 30 cm para tener el área máxima de 450 cm².
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