Situación 1 Pilar y su hermano Germán harán tarjetas con notas amables para colocarlas en diferentes lugares de la casa. Así, recortarán rectángulos de dimensiones AB = 6 cm y BC = 10 cm, y en su interior dibujarán un cuadrilátero como MNOP, donde MB = BN = OD = DP = x. A partir de los datos, responde: (puedes responder de manera escrita u oral, grabando un audio): ¿Qué valor debe tener x para que el área del cuadrilátero MNOP sea máxima?
Respuestas
Respuesta: 4 cm
Explicación:
MNOP = ABCD - BMN - NOC - BOD - MAP
MNOP= 60 - 2(6 -x)(10-x)/2 - 2(x.x)/2
MNOP= 60 -(60 - 16x + x^2) - x^2
MNOP= 60 - 60 +16x - x^2 - x^2
MNOP= -2x^2 + 16x
Luego de eso tenemos que hallar el mayor valor que toma x y el mebor valor que toma x con la formula de:
V= ( -b/ 2a)
Identificamos los valores:
a= -2
b= 16
c= 0
Aplicamoa la formula
V=( -16/ 2(-2))
V = ( -16/ -4)
V= 4
El área del cuadrilátero MNOP será máxima cuando el valor de x sea 4 cm.
Explicación paso a paso:
Se desea conocer el valor de x para que el área del cuadrilátero sea máxima. Para ello se construye la función área (A) partiendo de las dimensiones del rectángulo que se observa en la figura anexa.
El área (A) del cuadrilátero naranja será el área del rectángulo menos el área de los cuatro triángulos azules.
Área del rectángulo = (ancho)(largo) = (6)(10) = 60 cm²
Área del triángulo = (base)(altura)/2
Área de los triángulos = (x)(x)/2 + (6 - x)(10 - x)/2 + (x)(x)/2 + (6 - x)(10 - x)/2
La función objetivo es:
A = (6)(10) - [(x)(x)/2 + (6 - x)(10 - x)/2 + (x)(x)/2 + (6 - x)(10 - x)/2]
A = 60 - x² - (6 - x)(10 - x) = 60 - x² - (60 - 16x + x²)
A = 16x - 2x²
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es
A' = (16x - 2x²)' = 16 - 4x
A' = 0 ⇒ 16 - 4x = 0 ⇒ x = 4
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
A'' = (16 - 4x)' = -4
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
A''(4) = -4 < 0 ⇒ x = 4 es un máximo de la función
Cuarto, evaluamos la función en el valor máximo de x y obtenemos el valor máximo de A.
A(4) = 16(4) - 2(4)² = 32 cm²
El área del cuadrilátero MNOP será máxima cuando el valor de x sea 4 cm.
Tarea relacionada:
Máximos y mínimos brainly.lat/tarea/30067153
