Question

Con el aumento de contagiados del COVID 19, las autoridades del lugar han visto por
conveniente realizar una feria local, en la que los agricultores expenderán sus productos de pan llevar, para
ello el terreno rectangular se desea cercar con un vallado de 1000 m.

a) Si el terreno tiene “x” metros de ancho, halle la longitud y el área del terreno en función
de “x”.
b) Halle el ancho del terreno que tiene un área de 40 000 m2.
c) Halle el área máxima que puede tener el terreno rectangular para la feria local.

Answer 1

Tema: Máximos y mínimos

a) $A(x)=500x-x^2$

b) $x=100;x=400$

c) $A_{max}=62'500m^2$

Explicación paso a paso:

Comencemos rescatando los datos que nos son de utilidad. En el primer enunciado sabemos que el terreno es rectangular y además que se desea cercar con un vallado de 1000m, este dato corresponderá al perímetro del terreno.

Además, sabemos que las formulas del perímetro y área de un rectángulo siendo que para este caso llamaremos como "x" al ancho y como "y" a la altura.

$A=x*y$          Ec.1

$P=2x+2y$     Ec.2

De aquí sabemos que el perímetro vale 1000m:

$2x+2y=1000$  Ec.3

ahora si, prosigamos:

a) Si el terreno tiene “x” metros de ancho, halle la longitud y el área del terreno en función de “x”.

despejamos "y" en la formula del perímetro:

$y=\frac{1000-2x}{2} \\y=500-x$       Ec.4

sustituimos en la ecuación 1:

$A=x*(500-x)\\A=500x-x^2$   Ec.5

Con esto hemos obtenido el valor del área en función del ancho "x"

b) Halle el ancho del terreno que tiene un área de 40 000 m2.

resolvemos sustituyendo el valor del área en la ecuación 5:

$40'000=500x-x^2\\x^2-500x+40'000=0$

ahora teniendo una ecuación con la forma $ax^2 + bx + c$ , podemos aplicar la fórmula general, esto es:  

$\frac{-(-500) \pm \sqrt{(-500)^2-4(1)(40'000)}}{2(1)}\\\\ \frac{500 \pm \sqrt{250'000-160'000}}{2} \\\\ \frac{500 \pm 300}{2} \\\\ 250\pm150\\x_1=250+150=400\\x_2=250-150=100$

Para este caso hay dos respuestas que satisfacen la ecuación,

c) Halle el área máxima que puede tener el terreno rectangular para la feria local.

Para este último caso utilizaremos  el criterio de máximos y mínimos,

En este caso nos interesa conocer el valor que maximiza el área del terreno, para ello nuestra función tiene que ser derivable en f'(x) y f''(x), además f''(x)<0.

Para ello utilizaremos nuevamente la ecuación 5:

$500x-x^2=Max$

Procedemos a obtener la primera derivada de la función:

$f'(x)=500-2x$     Ec.6

ahora, igualamos a 0 y obtenemos el valor de x:

$500-2x=0\\500=2x\\x=250$

solo nos falta comprobar que esta valor sea un máximo, para lo cual f''(x)<0

$f''(x)=-2$

y efectivamente -2 < 0, por lo tanto si es un máximo local, solo sustituyamos por último en la ecuación 5:

$A=500(250)-(250)^2\\A=62'500m^2$

¡Saludos!

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