Question

Holaa! Me ayudan conb estos ejercicios, son : ecuaciones exponenciales. Porfavor si no saben la respuesta ,no contesten .Gracias :)
1)
${2}^{3x - 1} + {4}^{2x - 2} = {8}^{x}$
2)
${2}^{2 - x} - {4}^{x} = - 15$
3)
${2}^{2x} + {4}^{x - 1} + 44 = {2}^{2x + 2}$
4)
$\sqrt[2 - x]{25 \frac{2x + 1}{2} } = \frac{1}{5}$


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Answer 1

Respuesta: 1.   x = 3

                    2.   x = 2

                    3.   x = 2

                    4.   x = -3

Explicación paso a paso:

 *  2^(3x - 1)  +  4^(2x - 2)  = 8^x

⇒2^(3x) . 2^(-1)  +  4^(2x) . 4^(-2)   =  (2^3)^x

⇒(2^x)³ .  2^(-1)  +  (2²)^(2x). 4^(-2) = (2^x)^3

⇒(2^x)³ / 2   +   (2^x)^4 / 16    =  (2^x)^3

Sea  R  = (2^x), entonces la ecuación se convierte en:

R³ / 2   +   (R^4) / 16  =  R³

Al multiplicar esta ecuación por 16, resulta:

    8R³  +  R^4   =  16R³

⇒  8R³  -  R^4  = 0

⇒    R³ (8 - R)  = 0

⇒    R³  = 0  u  (8 - R)  = 0

⇒    R  =  0   ó   R  = 8

La solución  R = 0 no se considera.

Se considera la solución  R = 8.

Entonces, al volver a la variable original, se obtiene:

R  =  8  =  2^x  ⇒  x = log(base2) (8)  = 3

**     2^(2-x)  -  4^x   =  -15

  ⇒ 2² / 2^x   -   (2²)^x  =  -15

  ⇒ 2² / 2^x   -   (2^x)²  = -15

Sea  L = 2^x .  Entonces, la ecuación se convierte en:

4 / L    -    L²   =  -15

4 / L    -   L³ / L  =  -15

(4  -  L³)  =  -15L

4  -  L³  +  15L  =  0

L³  -  15L  -  4  =  0

De aquí,  L = 4,  L = -2 + √3 ,  L = -2 - √3

Se considera solo la solución positiva.

Entonces,  L = 4  = 2^x,  por tanto  x = 2

***     2^(2x)  +  4^(x - 1)  +  44  =  2^(2x + 2)

   ⇒ (2^x)² +  (2²)^(x - 1)  +  44  =  2^(2x)  .  2²

   ⇒      (2^x)²  +   2^(2x)  .  2^(-2)   +   44  =    2^(2x) .  4

   ⇒      (2^x)²  +   (2^x)²/ 4   +   44  =  (2^x)² .  4

Sea   T  =  2^x, entonces la ecuación se convierte en:

    T²  +   T² / 4    +   44   =  4T²

⇒ 4T²  +  T²   +   176  =  16T²

⇒ 4T²  +  T²  -  16T²  +  176  =  0

⇒ 5T²  -  16T²  +  176  =  0

⇒  -11T²  +  176  =  0

⇒ -11T²  =  -176

⇒     T²  = -176 / -11

⇒     T²  =  16

⇒     T   =  √16

⇒     T  =  4   ó   T  =  -4

Se considera solo la solución positiva.

Entonces, al volver a la variable original, se tiene:

T  =  2^x  = 4,  por tanto,  x = 2

**** (25)^{(x+1/2)/(2-x)}  =  1/5

Al elevar al exponente (2-x) en ambos miembros, resulta:

   (25)^(x + 1/2)  =  (1 / 5)^(2-x)

⇒(25)^x  .  25^(1/2)  =  1 / (5)^(2-x)

⇒(25)^x  .   5   =  1 / (5)^(2-x)

⇒(5)^(2-x)  .  5  .  (5²)^x   =  1

⇒{(5)³ / 5^x} . (5^x)²  =  1

⇒ 5³  .  5^x   =  1

⇒ 5^x  =  1 / 5³

⇒ 5^x  = 5^(-3)

⇒  x  = -3