Question

Holaaa, necesito ayuda con este ejercicio. Son: ecuaciones exponenciales ​

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

Ecuaciones exponenciales

Antes de resolver el ejercicio recordemos algunas propiedades

• ${a}^{n} \times {a}^{m} = {a}^{n + m}$
• ${a}^{n} \div {a}^{m} = {a}^{n - m}$
• $( {a}^{n} {)}^{m} = {a}^{n \times m}$
• ${a}^{ - n} = \frac{1}{ {a}^{n} }$

• $si \: a {}^{n} = {a}^{m}$

Se cumple que:

$n = m$

Con esas 5 propiedades, podemos resolver los ejercicios

Vamos a descomponer todas las bases, de manera que nos quede en la base un 2

${2}^{3x - 1} + ( {2})^{4x - 4} = {2}^{3x}$

Lo que hice fue expresar el 4 y el 8 como una potencia de base 2, luego usando la 2da propiedad, llegamos a ese resultado

Ahora bien, podemos expresar esa expresión de la siguiente forma:

$( {2}^{x} ) {}^{3} \div {2}^{ - 1} + ( {2}^{x} {)}^{4} \div {2}^{ - 4} = ( {2}^{ x } ) {}^{3}$

Vemos que se repite el 2^x, podemos hacer un cambio de variable

Sea R= 2^x

$\frac{1}{2} R {}^{3} + \frac{1}{16} R {}^{4} = R {}^{3}$

$\frac{1}{2} R {}^{3} + \frac{1}{16} R {}^{4} - R {}^{3} = 0$

$- \frac{1}{2} R {}^{3} + \frac{1}{16} R {}^{4} = 0$

$R( - \frac{1}{2} R {}^{2} + \frac{1}{16} R {}^{3} ) = 0$

Una solución es

$R = 0$

$- \frac{1}{2} R {}^{2} + \frac{1}{16} R {}^{3} = 0$

Volvemos a factorizar

$R( - \frac{1}{2} R + \frac{1}{16} R {}^{2} ) = 0$

Otra solución es:

$R = 0$

Nos queda:

$- \frac{1}{2} R + \frac{1}{16} R {}^{2} = 0$

$R( - \frac{1}{2} + \frac{1}{16} R) = 0$

$R = 0$

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{16} R = 0$

Despejamos R

$\frac{1}{16} R = \frac{1}{2}$

$R = \frac{1}{2} \times 16$

$R =8$

Ahora volvamos a la expresión original

${2}^{x} = 8$

8 es igual a 2^3

${2}^{x} = {2}^{3}$

Por la propiedad 5, si tenemos bases iguales, los exponentes también lo son

$x = 3$

Saludoss