Question

de 140 alumno de un centro deidiomas se sabe que: 62 estudian ingles,52 estudian frances, 54 estudian aleman, 18 estudian ingles y frances, 20 estudian frances y aleman, 17 estudian solo aleman , 8 estudian los tres idiomas, ¿cuantos alumnos estudian exactament dos idiomas de los mencionados?, ¿cuantos alumnos estudian otros idiomas?

Answer 1

27 estudian otros idiomas diferentes.

Answer 2

39 alumnos estudian dos idiomas de los mencionados. 27 alumnos estudian otros idiomas

Procedimiento:

Para este problema tenemos la siguiente información

De un total de 140 alumnos se sabe que

• 62 estudian inglés

• 52 estudian francés

• 54 estudian alemán

• 18 estudian inglés y francés

• 20 estudian francés y alemán

• 17 estudian sólo alemán

• 8 estudian los tres idiomas

Donde se pide determinar cuántos alumnos estudian otros idiomas

Siendo este un clásico problema de conjuntos, organizaremos los datos dados en un Diagrama de Venn

En este ejercicio tenemos tres conjuntos fácilmente identificables los cuales están dados por A) el conjunto de los alumnos que estudian inglés, B) el conjunto de los alumnos que estudian francés y C) el conjunto de los alumnos que estudian alemán

Se graficará en el conjunto universal donde se inscribirán los 3 conjuntos mencionados en el problema  

Y en donde la zona que está fuera de los tres conjuntos representa a los alumnos que estudian otros idiomas y que es nuestra incógnita

Vamos colocando la información en el Diagrama de Venn

Donde el primer dato que pondremos es el siguiente

Si 8 alumnos estudian los 3 idiomas, colocamos ese valor en en la intersección de los 3 conjuntos

Luego sabemos que 17 alumnos estudian sólo alemán, por tanto al no estudiar otros idiomas podemos colocar también ese valor en el diagrama

Luego sabemos que 18 estudian inglés y francés

Y como 8 estudian los tres idiomas debemos restar ese valor para determinar cuantos estudian inglés y francés

Siendo

$\boxed {\bold { Ingl\'es \ y \ Franc\'es = 18 \ - \ 8 \ = \ 10}}$

10 estudian inglés y francés

También conocemos que 20 estudian francés y alemán

Luego para hallar cuantos alumnos estudian francés y alemán hacemos el mismo procedimiento que en el paso anterior. Restamos la cantidad de alumnos que estudian los 3 idiomas de 20

$\boxed {\bold { Franc\'es \ y \ Alem\'an = 20 \ - \ 8 \ = \ 12}}$

12 estudian francés y alemán

Ahora hallaremos cuantos alumnos estudian alemán e inglés

Sabiendo que 54 estudian alemán, 17 estudian sólo alemán, 8 estudian los tres idiomas y 12 estudian francés y alemán

Luego para determinar la cantidad de alumnos que estudian alemán e inglés se reduce a

$\boxed {\bold { Alem\'an \ e\ Ingl\'es = 54 \ - \ 17 \ - \ 8 \ - \ 12 \ = \ 17 }}$

17 estudian alemán e inglés

Calculamos cuantos alumnos estudian sólo francés

Sabiendo que 52 estudian francés, 8 estudian los tres idiomas, 12 estudian francés y alemán y 10 estudian inglés y francés

Luego para determinar la cantidad de alumnos que estudian sólo francés se reduce a

$\boxed {\bold { S\'olo \ Franc\'es = 52 \ - \ 8 \ - \ 12 \ - \ 10 \ = \ 22 }}$

22 estudian sólo francés

Calculamos cuantos alumnos estudian sólo inglés

Sabiendo que 62 estudian inglés, 8 estudian los tres idiomas, 17 estudian inglés y alemán y 10 estudian inglés y francés

Luego para determinar la cantidad de alumnos que estudian sólo inglés se reduce a

$\boxed {\bold { S\'olo \ Ingl\'es = 62 \ - \ 8 \ - \ 17 \ - \ 10 \ = \ 27 }}$

27 estudian sólo inglés

Habiendo completado el Diagrama de Venn determinaremos la cantidad de alumnos que estudian dos idiomas de los mencionados

Ya hemos calculado que cantidad de alumnos estudian inglés y francés, francés y alemán y alemán e inglés

Por tanto la cantidad de alumnos que estudian dos idiomas de los mencionados será una sumatoria de lo siguiente

$\boxed {\bold { Ingl\'es \ y \ Franc\'es = \ 10}}$

$\boxed {\bold { Franc\'es \ y \ Alem\'an = \ 12}}$

$\boxed {\bold { Alem\'an \ e\ Ingl\'es = \ 17 }}$

Expresando

$\boxed {\bold { Estudian \ dos \ Idiomas = 10 \ + \ 12 \ + \ 17 \ = \ 39 }}$

39 alumnos estudian dos idiomas de los mencionados

Habiendo completado el Diagrama de Venn vamos a determinar cuántos alumnos estudian otros idiomas

Donde llamaremos x a los alumnos que estudian otros idiomas y sabiendo que el total de alumnos son 140

Planteamos la siguiente ecuación

$\boxed {\bold{ x \ + \ 27 \ + \ 10 \ + \ 8 \ + \ 17 \ + \ 22 \ + \ 12 \ + \ 17 \ = 140}}$

$\boxed {\bold{ x \ + \ 113 \ = 140}}$

$\boxed {\bold{ x = 140 \ - \ 113 }}$

$\boxed {\bold{ x = 27 }}$

27 alumnos estudian otros idiomas