Question

Se dispara un proyectil desde una explanada horizontal con una rapidez inicial de 100
[m/s], en una dirección de 37º respecto de la horizontal. En el mismo instante desde un
helicóptero en suspensión, se deja caer una bomba, impactando a los 5 [s] al proyectil.
Determinar:
I. La posición inicial de la bomba respecto del origen del proyectil.
II. Las velocidades de la bomba y el proyectil en el instante del impacto.

Answer 1

La posición inicial de la bomba respecto del origen del proyectil es de 300 m

En el instante de impacto las velocidades de la bomba y del proyectil son de 94,339 m/s y de 80,62 m/s respectivamente

Solución

En este ejercicio tenemos una combinación de movimiento parabólico y de tiro horizontal

En donde el proyectil disparado desde la explanada realiza un movimiento parabólico

Y el helicóptero que deja caer la bomba efectúa un tiro horizontal

Como se trata de una composición de movimientos en donde ambos son independientes

Hallamos las componentes vertical y horizontal para una $\bold { V_{0} = 100 \ m /s }}$

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje y    

$\boxed {\bold { {V_{0y} =V_{0} \ . \ sen \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { {V_{0y} = 100\ m/ s \ . \ sen \ 37\° }}}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 37\° es } \bold {\frac{ 3 } {5 } }}$

$\boxed {\bold { {V_{0y} = 100\ m/ s \ . \ \frac{3 } {5} }}}$

$\large\boxed {\bold { {V_{0y} = 60\ m/ s }}}$

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje x    

$\boxed {\bold { {V_{0x} =V_{0} \ . \ cos \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { {V_{0x} = 100\ m/ s \ . \ cos \ 37\° }}}$

$\large \textsf{El valor exacto de cos de 37\° es } \bold {\frac{ 4 } { 5 } }}$    

$\boxed {\bold { {V_{0x} = 100\ m/ s \ . \ \frac{4 }{5} }}}$

$\large\boxed {\bold { {V_{0x} = 80\ m/ s }}}$    

Hallamos las coordenadas del punto donde la bomba golpea al proyectil

Para un instante de tiempo de 5 segundos (t = 5) en las ecuaciones de las coordenadas x e y del proyectil

Eje x

$\boxed {\bold { x =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { x =80 \ m/ s \ . \ 5 \ s }}$

$\large\boxed {\bold { x =400 \ metros }}$    

Eje y

$\textsf{Tomando un valor de gravedad } \ \bold { g = 10 \ m/ s^{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}$

$\boxed {\bold { y ={V_{0y}\ . \ t - \frac{g \ . \ t^{2} }{2} } }}}$

$\boxed {\bold { y ={60 \ m/ s \ . \ 5 \ s - \frac{10 \ m/s^{2} \ . \ (5 \ s)^{2} }{2} } }}}$

$\boxed {\bold { y ={300 \ m - \frac{10 \ m/s^{2} \ . \ 25 \ s^{2} }{2} } }}}$

$\boxed {\bold { y ={300 \ m - \frac{250 \ m }{2} } }}}$

$\boxed {\bold { y ={300 \ m - 125 \ m} }}}$

$\large\boxed {\bold { y =175 \ m } }}}$      

Las coordenadas del punto de impacto son:

$\boxed{ \bold { P_{IMPACTO} \ (400, 175)}}$

Posición original de la bomba respecto del origen del proyectil  

Planteando las ecuaciones de tiro horizontal para el helicóptero

La bomba impacta al proyectil a los 5 segundos en el punto de impacto (400,175)

Eje x

$\boxed {\bold { x ={V_{0x} \ . \ t }}}$  

$\boxed {\bold { 400 \ metros ={V_{0x} \ . \ 5 \ s }}}$

$\boxed {\bold { {V_{0xH} = \frac{ 400 \ metros }{ 5 \ s } }}}$                                      

$\large\boxed {\bold { {V_{0xH} = 80 \ m/ s }}}$

Eje y

$\boxed {\bold { y =H- \frac{g \ . \ t^{2} }{2} } }}}$

$\boxed {\bold { 175 \ m =H- \frac{10 \ m / s^{2} \ . \ (5 \ s)^{2} }{2} } }}}$      

$\boxed {\bold { 175 \ m =H- \frac{250 \ m }{2} } }}}$

$\boxed {\bold { H = 175 \ m +125 \ m } }}}$

$\large\boxed {\bold { H = 300 \ m } }}}$

El helicóptero se encontraba a lanzar la bomba a 300 metros de altura con una velocidad de 80 m/s en el eje x

4) Cálculo de las velocidades de la bomba y del proyectil para el instante de impacto

Bomba

La velocidad en el eje x se mantiene constante y no varía

$\boxed {\bold { {V_{xBOMBA} =80 \ m/s }}}$

Velocidad en el eje y (velocidad vertical) para 5 s

$\boxed {\bold { {V_{yBOMBA} = 10 \ m/s^{2} \ . \ 5 \ s }}}$

$\boxed {\bold { {V_{yBOMBA} = 50 \ m/s }}}$

Hallamos la velocidad resultante para ese instante de tiempo con las velocidades en x y en y

$\boxed{\bold { V_{R \ BOMBA} = \sqrt{ ( V_{XB} )^{2} + ( V_{YB} )^{2} } }}$

$\boxed{\bold { V_{R \ BOMBA} = \sqrt{ ( 80 )^{2} + ( 50} )^{2} } }}$

$\boxed{\bold { V_{R \ BOMBA} = \sqrt{ 6400 + 2500 } }}$

$\boxed{\bold { V_{R \ BOMBA} = \sqrt{ 8900 } }}$

$\large\boxed{\bold { V_{R \ BOMBA} = 94,339 \ m/ s } }}$

Proyectil

La velocidad en el eje x se mantiene constante y no varía

$\boxed {\bold { {V_{xPROYECTIL} =80 \ m/s }}}$

Velocidad en el eje y (velocidad vertical) para 5 s

$\boxed {\bold { {V_{yPROYECTIL} =V_{0y}- g \ . \ t }}}$

$\boxed {\bold { {V_{yPROYECTIL} =60 \ m/s- 10 \ m/s^{2} \ . \ 5 \ s }}}$

$\boxed {\bold { {V_{yPROYECTIL} =60 \ m/s- 50 \ m/s }}}$

$\boxed {\bold { {V_{yPROYECTIL} =10\ m/s }}}$

Hallamos la velocidad resultante para ese instante de tiempo con las velocidades en x y en y

$\boxed{\bold { V_{R \ PROYECTIL} = \sqrt{ ( V_{XP} )^{2} + ( V_{YP} )^{2} } }}$

$\boxed{\bold { V_{R \ PROYECTIL} = \sqrt{ ( 80 )^{2} + ( 10} )^{2} } }}$

$\boxed{\bold { V_{R \ PROYECTIL} = \sqrt{ 6400 + 100 } }}$

$\boxed{\bold { V_{R \ PROYECTIL} = \sqrt{ 6500 } }}$

$\large\boxed{\bold { V_{R \ PROYECTIL} = 80,62 \ m/ s } }}$