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Explicación paso a paso:
El hexágono regular es un polígono convexo con seis lados iguales y seis ángulos iguales, siempre dividido en triángulos simétricos o asimétricos.
El hexágono regular tiene las siguientes propiedades:
Sus ángulos internos son congruentes midiendo 120° ó {\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}\frac{2\pi}{3} rad. Resultado de {\displaystyle A_{i}={\frac {180(6-2)}{6}}} A_i = \frac{180(6-2)}{6}
Cada ángulo externo del hexágono regular mide 60° ó {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}\frac{\pi}{3} rad.
Está íntimamente relacionado con los triángulos equiláteros:
Uniendo cada vértice con su opuesto, el hexágono regular queda dividido en seis triángulos equiláteros.
Numérense los vértices de 1 a 6 en el sentido horario. Uniendo los vértices impares se obtiene un triángulo equilátero; uniendo los vértices pares se obtiene otro.
Además de los cuadrados y los triángulos equiláteros, los hexágonos regulares congruentes (o iguales) son los terceros polígonos regulares que se pueden juntar para revestir totalmente una superficie plana sin dejar ningún vano.
Las seis raíces sextas de 1 o los números complejos que resuelven la ecuación {\displaystyle z^{6}-1=0} z^6 -1 = 0 están en los vértices de un hexágono regular ubicado en el plano complejo, siendo el primer vértice el punto (1,0).5
Un hexágono regular es inscriptible y circunscribible en una circunferencia.Atendiendo a la figura, {\displaystyle r_{i}}{\displaystyle r_{i}} sería el radio del círculo inscrito, {\displaystyle r_{u}}{\displaystyle r_{u}} el radio del círculo circunscrito y {\displaystyle a}a la longitud de un lado. Caben las igualdades6:
{\displaystyle a=r_{u}}{\displaystyle a=r_{u}}, la longitud de un lado es igual al radio del círculo circunscrito.
{\displaystyle r_{i}=\cos(30^{\circ })r_{u}}{\displaystyle r_{i}=\cos(30^{\circ })r_{u}} , de esta forma se relacionan los radios de las circunferencias, entonces:
{\displaystyle r_{i}={\frac {\sqrt {3}}{2}}r_{u}}{\displaystyle r_{i}={\frac {\sqrt {3}}{2}}r_{u}} y podemos concluir que
{\displaystyle a=r_{i}={\frac {r_{u}}{2}}{\sqrt {3}}}{\displaystyle a=r_{i}={\frac {r_{u}}{2}}{\sqrt {3}}}
Para una Hexágono regular de círculo circunscrito y longitud de lado {\displaystyle r_{u}=a=1}{\displaystyle r_{u}=a=1} , el radio de la inscrita sería aproximadamente {\displaystyle r_{i}\approx 0.866}{\displaystyle r_{i}\approx 0.866}