Question

$f(x) = x3 - x21$
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Answer 1

Respuesta:

b) Da un ejemplo de una función definida en un intervalo cuya imagen sea un intervalo y que no

sea continua.

c) Da un ejemplo de una función continua en todo R, no constante y cuya imagen sea un conjunto

(obligatoriamente un intervalo) acotado.

d) Da un ejemplo de una función continua en Œ0; 1Œ tal que f .Œ0; 1Œ/ no sea acotado.

e) Da un ejemplo de una función continua definida en un intervalo abierto acotado y cuya imagen

sea un intervalo cerrado y acotado.

Solución. a) Una función continua cuya imagen no sea un intervalo no puede estar definida en

un intervalo. Una vez que caes en este detalle, se te deben de ocurrir muchos ejemplos. Como la

función f W0; 1Œ[2; 3Œ! R dada por f .x/D1 para x 20; 1Œ y f .x/D2 para x 22; 3Œ. Es claro

que f es continua (usa, si quieres el teorema de localización para justificarlo en media línea) y

su imagen es el conjunto f1; 2g que no es un intervalo.

b) Aquí debes tener en cuenta que la función que buscas no puede ser monótona. Una vez que

caes en este detalle, se te deben de ocurrir muchos ejemplos. Como la función f W Œ0; 2 ! R

dada por f .x/ D 2x para x 2 Œ0; 1, f .x/ D x=2 para x 21; 2. Claramente f es discontinua en

x D 1, pero su imagen es el intervalo Œ0; 2.

c) Esto es muy fácil. Por ejemplo, la función f .x/ D

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1 C x

2

. Claramente, f .R/D0; 1.

d) Esto es muy fácil. Por ejemplo, f .x/ D

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