Question

60) Una pelota de goma cae desde una altura de 60 m y rebota en forma repetida hasta alcanzar el reposo. En cada rebote la pelota sube 2/3 de la altura a la que estaba previamente. Entonces, la distancia recorrida por la pelota, expresada en metros, es igual a:
a) 120 cm b) 116 cm c) 140 cm d) 144 cm e) 160 cm

Answer 1

Tema: Suma límite de una progresión geométrica:

⇒La longitud recorrida hasta detenerse es 300m

Explicación paso a paso:

De acuerdo al problema sabemos que la altura inicial es de 18m la cual representaremos como:

$h_o=60m$

Sabemos que en cada rebote pierde algo de su altura,por lo que con cada nuevo rebote alcanza  $\frac{2}{3}$  de la altura anterior. Por lo tanto la altura después del primer rebote es:

$h_1=60*\frac{2}{3}$

y después del segundo:

$h_2=60*\frac{2}{3} * \frac{2}{3}$

y del tercero:

$h_3=60*\frac{2}{3} * \frac{2}{3}* \frac{2}{3}$

y así sucesivamente. Te adjunto una imagen para que quede más claro. Como se observa en la imagen que te adjunto, a partir del primer rebote tiene dos flechas, una hacia arriba y otra hacia abajo, puesto que esas distancias las recorre en ambas direcciones.

Podríamos expresar lo que conocemos hasta ahora como que la distancia total es:

$T=h_0+2h_1+2h_2+2h_3....\\T=h_0+2[h_1+h_2+h_3....]$

sustituyendo:

$T=60+2[60*\frac{2}{3} +(60*\frac{2}{3}*\frac{2}{3})+(60*\frac{2}{3}*\frac{2}{3}*\frac{2}{3})...]\\T=60+2*60*\frac{2}{3}[1+\frac{2}{3}+(\frac{2}{3}*\frac{2}{3})...]\\\\T=60+80[1+\frac{2}{3}+(\frac{2}{3}*\frac{2}{3})...]$Ec.1

Donde la operación que nos interesa es la que se encuentra dentro de los corchetes, la cual es una progresión geométrica decreciente que resolveremos con la formula de suma límite para una progresión geométrica, la cual es:

$S=\frac{a}{1-r}$

S= valor de la suma

a= primer término de la sucesión (1)

r= razón geométrica (2/3)

Resolviendo:

$S=\frac{60}{1-\frac{2}{3} }\\\\S=\frac{1}{(\frac{1}{3}) }\\S=3$

Y esto será el valor del corchete, así que al sustituir en Ec.1:

$T=60+80*[3]\\T=60+240\\T=300m$

Solución alterna

La segunda solución es aplicar directamente la formula:

$T=h_o(\frac{1+r}{1-r})$

que es igual a :

$T=60(\frac{1+\frac{2}{3} }{1-\frac{2}{3}})\\T=60(\frac{\frac{5}{3} }{\frac{1}{3}})\\T=60(5)\\T=300m$

Por lo que la respuesta correcta no es ninguna de las señaladas en el problema, rectifica si las respuestas que pones son las que sugiere el problema :)

¡Saludos!

Te adjunto otro problema del mismo tema :)

https://brainly.lat/tarea/10799599