Question

las edades de Pedro, José, Jesús están en progresión aritmética respectivamente cuya diferencia es 4. Si a la primera edad se le incrementa en 2, a la segunda en 3 y a la tercera en 5, los números resultantes son las edades de Any, Mary, Rosa respectivamente. Que forman una progresión geométrica.

Indique edad tienen
Nivel Universidad

Answer 1

PROGRESION  ARITMÉTICA  Y  GEOMÉTRICA.

Problema de aplicación.

Si la diferencia entre las edades es 4, podemos representar las tres edades de Pedro, José y Jesús en función de una sola,  de esta manera:

• Pedro tiene "x" años
• José tiene "x+4" años
• Jesús tiene "x+4+4 = x+8" años

Ahora veamos lo que se resta a cada una de ellas para obtener la progresión geométrica que son las edades de las chicas.

• Pedro se incrementa en 2 y pasa a tener:  x+2
• José se incrementa en 3 y pasa a tener: x+4+3 = x+7
• Jesús se incrementa en 5 y pasa a tener: x+8+5 = x+13

Ahora hay que mirar las características de una progresión geométrica (PG) que son que dividiendo cualquier término entre el anterior nos debe dar la razón "r" de esa PG que es el número por el cual se multiplica cada término para obtener el siguiente. Por tanto tenemos los siguientes términos de esa PG:

• a₁ = x+2
• a₂ = x+7
• a₃ = x+13

Pues con esos datos podemos montar una ecuación según lo que acabo de explicar ya que la razón "r" puede obtenerse usándolos de este modo:

$r=\dfrac{a_2}{a_1} =\dfrac{x+7}{x+2} \\ \\ \\ r=\dfrac{a_3}{a_2} =\dfrac{x+13}{x+7}$

Como ambos cocientes me dan la razón "r", los igualo uno al otro y resuelvo:

$\dfrac{x+7}{x+2}=\dfrac{x+13}{x+7}\\ \\ \\ x^2+14x+49=x^2+15x+26\\ \\ 49-26=15x-14x\\ \\ x=23$

Calculado el valor de "x", solo hay que aplicarlo a las distintas expresiones para saber la edad de todos.

Pedro tiene  23 años

José tiene  23+4 = 27 años

Jesús tiene 27+4 = 31 años

Any tiene 23+2 = 25 años

Mary tiene 27+3 = 30 años

Rosa tiene 31+5 = 36 años

Progresión aritmética de las edades de los chicos: 23 - 27 - 31  con diferencia = 4

Progresión geométrica de las edades de las chicas: 25 - 30 - 36 con la razón = 1,2