Question

Indique si es verdadero o falso
$\huge{\boxed{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n}{3^n\: n!} =\sqrt[3]{e}}}$
no se olviden del procedimiento

Answer 1

Hola..!! , Veamos                          

                         SERIE INFINITA

Una serie infinita se refiere a la suma de términos que tienden hacia el infinito su notación esta dada por el sigma cuyo índice de sumatoria (en este caso es 1 ) nos va representar desde que valor inicia la serie

$\mathbb{EJEMPLO:}$

                                                    $\sum _{n=1} ^ {\infty} \frac{3n}{3^n.n!}$

$\mathrm{Para \ ello \ debemos \ tener \ en \ cuenta}$

                                                   $\sum_{n=0} ^{\infty} \frac{x^n}{n!} =e^x$

$\mathrm{Usando \ las \ propiedades \ de \ los \ factoriales \ y \ exponentes \ tenemos}$

                        $n!=(n-1)!.n$        $\mathrm{TAMBIEN}$      $\cfrac{n^x}{n^y}=n^{x-y}$

$\mathrm{Remplazamos}:$

                                                $\sum _{n=1} ^ {\infty} \frac{1}{3^{n-1}.(n-1)!}$

$\mathrm{Dandole \ forma }$

                                                $\sum _{n=1} ^ {\infty} \frac{(\frac{1}{3})^{n-1} }{(n-1)!}$

Si somos buen@s observadores se asemeja mucho a la propiedad           mencionada con anterioridad por tanto  

$\mathrm{Finalmente}$

                                               $\sum _{n=1} ^ {\infty} \frac{(\frac{1}{3})^{n-1} }{(n-1)!}=e^{\frac{1}{3}$

por tanto la igualdad con el resultado coincide por tanto la igualdad           es VERDADERA.

Un cordial saludo.