Question

La aceleracion de un cuerpo que se mueve a lo largo de una linea recta esta dada por:

a(t)= 4m/s²- 1m/s4*t²

Sabiendo que para t=3s el cuerpo se encuentra en la posicion x=9m y tiene una velocidad de 2m/s. Encuentre la funcion velocidad y la funcion de movimiento del cuerpo para todo tiempo

AYudaa

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

    Integración de funciones de  movimiento

Antes de resolver el ejercicio, repasemos algunas cosas

    Propiedades de las integrales indefinidas (algunas)

• $\int\limits {c*f(x)} \, dx = c*\int\limit {f(x)} \, dx$

• $\int\limit {k} \, dx = kx+C$

C: es la constante de integración y "k" un numero

• $\int\limit ({F(x)+G(x))} \, dx = \int\limit {F(x)} \, dx +\int\limit {G(x)} \, dx$

• $\int\limit {x^{n} } \, dx = \frac{x^{n+1} }{n+1} +C$

Ahora un concepto:

   Integración en MRUV

Sabemos que un cuerpo en movimiento rectilíneo uniformemente variado se caracteriza por poseer aceleración constante, es decir

       $a(t)= a=cte$

Si queremos obtener la velocidad v(t), como "a" es una constante podemos integrar la función a(t)

 $\int\limits {a(t)} \, dt= a \int\limits {dt} = at+c$

$v(t)= at+C$

Necesitamos por lo menos conocer la velocidad en algún instante t₀ para obtener la velocidad, si reemplazamos:

$v(t_{o})= a*t_{o} +C$

Despejamos "C" y obtendremos una expresión, que luego la reemplazaremos en v(t) para obtener la velocidad

Luego Para la función posición, integramos la velocidad

$x(t)= \int\limit {v(t)} \, dt$

Obteniendo:

$x(t)= \frac{at^{2} }{2} +V_{o}*t+x_{o}$

Y de manera análoga al de la velocidad, obtendremos la función x(t)

Ahora si vamos al ejercicio

Sea:   $a(t)= 4m/s^{2} -1m/s^{4} *t^{2}$     la función aceleración

Si la integramos obtendremos:

$\int\limit {a(t)} \, dt=\int\limit {(4m/s^{2}-1m/s^{4}*t^{2}) } \, dt$

$v(t)= \int\limit {(4m/s^{2}) } \, dt - \int\limit {(1m/s^{4} *t^{2}) } \, dt$

$v(t)= 4m/s^{2}*t-1m/s^{4} *\frac{t^{3} }{3} +V_{o}$

Por dato del problema:  en t=3s  posee una velocidad de 2m/s, reemplazando

$2m/s= 4m/s^{2} *3s-1m/s^{4} *9s^{3} +V_{o}$

$2m/s= 12m/s-9m/s+V_{o}$

$-1m/s= V_{o}$

La función velocidad es:

$v(t)= -\frac{1}{3} m/s^{4} *t^{3} +4m/s^{2}*t-1m/s$

Para la función posición, integramos v(t)

$\int\limit{v(t)} \, dt= \int\limit {(-\frac{1}{3}m/s^{4}*t^{3}) } \, dt + \int\limit {(4m/s^{2}*t) } \, dt - \int\limit {(1m/s)} \, dt$

$x(t)= -\frac{1}{12}m/s^{4} *t^{4} +2m/s^{2} *t^{2} -1m/s*t+x_{o}$

Por datos del problema:  en t=3s   el cuerpo esta en x=9m

$9m= -\frac{1}{12} m/s^{4} *81s^{4} +2m/s^{2}*9s^{2} -1m/s*3s +x_{o}$

$9m= -\frac{27}{4} m+18m-3m+x_{o}$

$9m= \frac{33}{4} m+x_{o}$

$\frac{3}{4} m= x_{o}$

La función posición es:

$x(t)= -\frac{1}{12} m/s^{4} *t^{4} +2m/s^{2}*t^{2}-1m/s*t+\frac{3}{4} m$

Saludoss