Question

la arista de un octaedro regular mide 16 m . calcula la distancia del centro del octaedro a una cara ​

Answer 1

La distancia del centro del octaedro regular de arista a= 16 m a una cara ​será de manera exacta $\dfrac{8\sqrt{6} }{3}\;m$ y de manera aproximada 6.53 m.

Partamos de la figura que te adjunto de un octaedro regular. Debemos hallar OF, que es la distancia del centro a una de las caras.

Las diagonales de un octaedro regular son iguales, se cortan en su punto medio y tienen valor de:

$BD = AC = PQ = a\sqrt{2}$

Donde a es la arista. Como se cortan en su punto medio entonces:

$PO=\dfrac{PQ}{2}=\dfrac{a\sqrt{2} }{2}$

PE es la altura del triángulo equilátero CDP con lados de valor a, por tanto su valor será:

$PE=\dfrac{a\sqrt{3} }{2}$

OE es la mitad de la arista a, siendo su valor:

$OE=\dfrac{a}{2}$

Por el teorema de los catetos en el triángulo rectángulo POE:

PO·OE=OF·PE

Despejando OF:

$OF=\dfrac{PO\cdot OE}{PE}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2} }{2} \cdot \dfrac{a}{2} }{\dfrac{a\sqrt{3} }{2} }=\dfrac{\sqrt{6} a}{6}$

Finalmente la distancia del centro del octaedro regular de arista a= 16 m a una cara ​será:

$OF=\dfrac{\sqrt{6}a }{6}=\dfrac{\sqrt{6}(16) }{6}=\dfrac{8\sqrt{6} }{3}\;m\approx6.53\;m$

R/  La distancia del centro del octaedro regular de arista a= 16 m a una cara ​será de manera exacta $\dfrac{8\sqrt{6} }{3}\;m$ y de manera aproximada 6.53 m.