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n matemáticas, la expresión 1 − 2 + 3 − 4 + · · · es una serie infinita cuyos términos son los números enteros, alternando signos. Utilizando la notación matemática para sumatorias, la suma de los primeros m términos de la serie se expresa como:
{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.}{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.}
Es una serie divergente, en el sentido de que la sucesión de sus sumas parciales (1, −1, 2, −2, …) no tiende a ningún límite finito. De forma equivalente se dice que 1 − 2 + 3 − 4 + · · · no posee suma.
Sin embargo, a mediados del siglo XVIII, Leonhard Euler "demostró" la siguiente relación, calificándola de paradójica:
{\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.}{\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.}
No sería hasta mucho tiempo después que se lograría dar con una explicación rigurosa de dicha relación. Hacia comienzos de la década de 1890, Ernesto Cesàro y Émile Borel entre otros, investigaron métodos bien definidos para encontrar sumas generalizadas de las series divergentes – incluyendo nuevas interpretaciones de los intentos realizados por Euler. Muchos de estos métodos denominados de sumación le asignan a 1 − 2 + 3 − 4 + · · · una "suma" de 1⁄4. El método de suma de Cesàro es uno de los pocos métodos que no suma la serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, por lo que esta serie es un ejemplo de un caso donde debe utilizarse un método más robusto como por ejemplo el método de suma de Abel.
La serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · · se encuentra relacionada con la serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·. Euler analizó estas dos series como casos especiales de (1 − 2n + 3n − 4n + · · ·) para valores de n arbitrarios, una línea de investigación que extiende su contribución al problema de Basilea y conduce a las ecuaciones funcionales de lo que conocemos hoy como la función eta de Dirichlet y la función zeta de Riemann.
Explicación paso a paso:
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