Respuestas
El mayor número de 2 cifras en base 7 es 66(7), puesto que son los dígitos más grandes que podemos escribir en esta base.
Ahora, debemos convertir 66(7) a base 10. Recordemos que la base 7 es un sistema de numeración posicional donde cada “posición” representa una potencia de 7, que aumenta de derecha a izquierda. Es decir, la primera posición representa 7^0, la siguiente a la izquierda representa 7^1 y así sucesivamente. Para obtener el número base 10 debemos multiplicar la potencia del 7 correspondiente por el valor del número en esa posición. Veamos:
6(7^1) = 6(7) = 42
6(7^0) = 6(1) = 6
Y luego sumamos:
42 + 6 = 48
Entonces encontramos que el número es el 48. Ahora necesitamos convertirlo a base 4 y para esto debemos hacer lo inverso a lo que acabamos de hacer. La base 4, de la misma manera que la 7, representa una potencia de 4 por cada posición. También es necesario recordar que sólo se pueden utilizar 4 dígitos para representar cualquier número en esta base (0, 1, 2, 3).
El procedimiento que se sigue es este: primero debemos verificar cuál será la posición más alta que alcance este número, quiero decir, cómo cada posición representa un valor, debemos ver cuál es la posición en la que nuestro número “ya no cabe”. Veamos, los valores de cada posición son: 4^0 = 1, 4^1 = 4, 4^2 = 16, 4^3 = 64...
Como nuestro número es 48, ya no alcanza la posición del 64, por lo que sabemos que nuestro número será de 3 cifras.
Lo siguiente será obtener el cociente y residuo de la división de nuestro número entre el valor de la máxima posición, así:
48/16 = 3, residuo 0
Como el residuo es 0, quiere decir que tan sólo en esa posición alcanzamos el número deseado, las demás posiciones se rellenarán con ceros de la siguiente manera:
48 = 300(4)
Entonces el mayor número de dos cifras en base 7 se escribe en base cuatro 300(4).
Nota: entre paréntesis estoy poniendo la base del número, que en realidad suele escribir como un subíndice. Además, es costumbre no poner la base cuando se habla de base 10.
Espero te sirva (: